Matemática – 1ª Série – 2ª Recomposição das Aprendizagens

16 de maio de 2022

HABILIDADE

Determinar conjunto solução de uma equação polinomial de 1º grau.

Equação polinomial do 1º grau

As equações de primeiro grau são sentenças matemáticas que estabelecem relações de igualdade entre termos conhecidos e desconhecidos, representadas sob a forma:

ax + b = 0

Onde a e b são números reais, sendo a um valor diferente de zero (a ≠ 0) e x representa o valor desconhecido, denominado de incógnita.

1º Exemplo

Qual é o valor da incógnita x que torna a equação verdadeira?

Resolução

2º Exemplo

Resolva as equações a seguir.

a) 2x – 3 = 0

Resolução

b) 3(2x – 5)= 7

Resolução

c) 2(3-x) +3 (2x+4)=10

Resolução

Resolução

Resolução

Vamos calcular o mínimo múltiplo comum dos denominadores.

01

02 (OBMEP/2015) Qual é o número que está escondido pelo borrão?

(A) 10
(B) 11
(C) 12
(D) 13
(E) 14

03 (CAED/2022) Observe a equação a seguir.

2𝑥 + 5 = −25 + 3 ∙ (𝑥 + 20)

O conjunto solução dessa equação é

(A) S = {- 20}
(B) S = {- 10}
(C) S = {- 30}
(D) S = {10}
(E) S = {8}

04 (IFMT/2013) Resolva a equação do primeiro grau:

05 (UNICAMP/2016-Adaptada) Observe a equação a seguir.

O conjunto solução dessa equação é

(A) S = {7}
(B) S = {11}
(C) S = {11/7}
(D) S = {7/11}
(E) S = {11,7}

06 (Encceja/2017-Adaptada) Leia o texto a seguir.

As antigas balanças de prato ainda são usadas em algumas mercearias para a pesagem de alimentos. O equilíbrio ocorre quando a soma das massas dos objetos colocados em um dos pratos é igual à soma das massas dos objetos colocados no outro prato. Um estudante foi desafiado a descobrir qual é o valor de x representado na balança equilibrada da figura, sabendo que todas as caixinhas marcadas com x têm a mesma massa em kg.

O valor de x, em quilograma, é igual a

(A) 1.
(B) 2.
(C) 5.
(D) 8.
(E) 10.

HABILIDADE

Compreender relações entre medidas de ângulos formados por um feixe de retas paralelas cortadas por uma reta transversal.

Retas paralelas cortadas por uma transversal

Retas paralelas são aquelas que não se interceptam em nenhum ponto. Uma reta é transversal à outra se ambas apresentam apenas um ponto em comum. Ao traçarmos duas retas r e s, tal que r // s (r é paralela a s), e uma reta transversal t que intercepte r e s, formando oito ângulos. Observe a imagem a seguir.

A interseção da reta t com as retas paralelas r e s deu origem aos ângulos a, b, c, d, e, f, g e h.

Podemos classificar os ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal de acordo com a posição desses ângulos. Se eles estiverem entre as retas paralelas, dizemos que esses ângulos são internos; caso contrário, dizemos que eles são externos. Ao analisarmos dois ângulos, eles podem estar do mesmo lado ou em lados alternados em relação à reta transversal. Se dois ângulos estão à direita ou ambos estão à esquerda da reta t, dizemos que esses ângulos são colaterais, mas se estão em lados alternados, um à direita, e o outro à esquerda, dizemos que esses ângulos são alternos.

Os ângulos podem ser classificados como internos ou externos, e dois ângulos podem ser colaterais ou alternos.

Ângulos alternos internos

Note que o ângulo d é congruente com o ângulo f e o ângulo e é congruente com o ângulo c, ou seja, 𝑑 ̂

Ângulos alternos externos

Note que o ângulo a é congruente com o ângulo g e o ângulo b é congruente com o ângulo h, ou seja,

1º Exemplo

**Determine o valor real de x, sabendo que r//s.**

Perceba que os ângulos 3x + 15^o e x + 75^o são alternos externos portanto,

3x + 15^o = x + 75^o

resolvendo a equação temos,

3x – x = 75^o – 15^o
2x = 60^o
x = 30^o

Ângulos colaterais internos

Note que o ângulo d e o ângulo e são suplementares, assim como os ângulos c e f, ou seja,

Ângulos colaterais externos

Note que o ângulo a e o ângulo h são suplementares, assim como os ângulos b e g, ou seja,

2º Exemplo

**Determine o valor real de x, sabendo que r//s.**

Perceba que os ângulos 3x + 15^o e x + 25^o são colaterais internos portanto,

3x + 15^o + x + 25^o = 180^o

resolvendo a equação temos,

4x + 40^o = 180^o
4x = 180^o – 40^o
4x = 140^o
x = 35^o

01 Determine o valor real de x, sabendo que r//s.

As retas r e s da figura são paralelas cortadas pela transversal t. Se a medida do ângulo B é o triplo da medida do ângulo A, então B – A vale:

03 Duas retas paralelas cortadas por uma transversal formaram um par de ângulos alternos internos representados por: 2x – 45^o e x + 22^o. Determine o valor de x e a medida de desses ângulos.

04 Dois ângulos colaterais internos foram formados quanto traçamos duas restas paralelas cortadas por uma transversal. Sabendo que esses ângulos são representados por A = 3x + 25^o e B = 2x + 45^o, determine o valor dos ângulos A e B.

05 Duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, então a afirmativa falsa é

(A) os ângulos colaterais internos são congruentes.
(B) os ângulos correspondentes são congruentes.
(C) os ângulos alternos internos são congruentes.
(D) os ângulos alternos externos são congruentes.
(E) os ângulos colaterais externos não são congruentes.

06 Duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam dois ângulos colaterais externos, de medidas 3x + 30^o e 7x + 50°. Calcule a medida do ângulo agudo.

07 Duas retas formam, com uma transversal, ângulos alternos internos, expressos em graus por 7x – 1° e 4x + 5^o. Calcule o valor de x, a fim de que essas retas sejam paralelas.

08 Na figura, a seguir, as retas r e s são paralelas. Os ângulos de medidas 60^o e 120^o são:

(A) congruentes, pois são colaterais internos.
(B) congruentes, pois são correspondentes.
(C) congruentes, pois são alternos internos.
(D) suplementares, pois são colaterais internos.
(E) suplementares, pois são colaterais externos

09 (Encceja/2017-Adaptada) Leia o texto a seguir.

No esboço de um projeto de construção, um viaduto passará sobre duas avenidas paralelas.

O menor ângulo formado pela avenida que segue pelo sentido 1 e o viaduto é de 30º.

Qual será o maior ângulo formado pela avenida que segue no sentido 2 e o viaduto?

(A) 60^o
(B) 120^o
(C) 150^o
(D) 180^o
(E) 210^o

10 (UEPB/2014-Adaptada) Leia o texto a seguir.

As retas paralelas r e s são cortadas pela reta t como mostra a figura a seguir. A medida do ângulo B é:

(A) 120°
(B) 100°
(C) 140°
(D) 130°
(E) 110°

11 Na figura, a seguir, as retas r e s são paralelas.

A medida do ângulo y, em graus é

(A) 90°.
(B) 60°.
(C) 100°.
(D) 70°.
(E) 80°.

12 (UFPB/1994-Adaptada) Leia o texto a seguir.

**Na figura, a seguir, estão representadas as retas r, s e t. Sabendo-se que as retas r e são paralelas, calcule, em graus, o valor de y.**

HABILIDADE

Determinar conjunto solução de uma equação polinomial de 2º grau.

Equação do 2º grau

Um polinômio da forma 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 é dito polinômio do 2º grau de uma variável x, com a diferente de zero. Chamamos de equação do 2º grau ou equação quadrática na incógnita x a igualdade entre esse polinômio e o número zero.

𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ 𝑒 𝑎 ≠ 0

Uma equação do 2º grau na forma 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 é uma equação reduzida ou geral.

Elementos da equação

Considere a equação do 2º grau 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, com 𝑎 ≠ 0.

Incógnita: x
Coeficientes: a, b e c
Termo independente: o coeficiente c

Exemplos:

Equações completas e incompletas

Uma equação do 2º grau 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, com 𝑎 ≠ 0 é denominada:

Completa, quando 𝑏 ≠ 0 e 𝑐 ≠ 0, ou seja, todos os coeficientes da equação são diferentes de zero.

Exemplo:
9𝑥2 − 3𝑥 + 2 = 0 é uma equação completa, pois
𝑎 = 9, 𝑏 = −3 𝑒 𝑐 = 2.

Incompleta, quando 𝑏 = 0 𝑒/𝑜𝑢 𝑐 = 2.

Exemplos:

a) 𝑥2 + 6𝑥 = 0 é uma equação incompleta, pois 𝑎 = 1, 𝑏 = 6 𝑒 𝑐 = 0.
b) −𝑥2 + 4 = 0 é uma equação incompleta, pois 𝑎 = −1, 𝑏 = 0 𝑒 𝑐 = 4.
c) 7𝑥2 = 0 é uma equação incompleta, pois 𝑎 = 7, 𝑏 = 0 𝑒 𝑐 = 0.

Raiz e/ou solução de uma equação

Os elementos do conjunto solução de uma equação são chamados raízes da equação. Para verificar se um número é raiz de uma equação, devemos fazer o seguinte processo:

Substituir a incógnita por esse número.
Determinar o valor de cada membro da equação.
Verificar a igualdade. Sendo uma sentença verdadeira, o número considerado é raiz da equação.

Na equação 𝑥2 − 6𝑥 + 5 = 0 , os valores 1 e 5 são raízes da equação. Vamos verificar essa afirmação utilizando os três passos descritos anteriormente.

Vamos verificar para o número 1.

Substituir a incógnita por esse número.

(1)2 − 6 ∙ (1) + 5 = 0

Determinar o valor de cada membro da equação.

(1)2 − 6 ∙ (1) + 5 = 0
1 − 6 + 5 = 0
−5 + 5 = 0
0 = 0 (𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑎)

Verificar a igualdade. Sendo uma sentença verdadeira, o número considerado é raiz da equação.

Portanto o número 1 é raiz da equação.

Vamos verificar para o número 5.

Substituir a incógnita por esse número.

(5)2 − 6 ∙ (5) + 5 = 0

Determinar o valor de cada membro da equação.

(5)2 − 6 ∙ (5) + 5 = 0
25 − 30 + 5 = 0
−5 + 5 = 0
0 = 0 (𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑎)

Verificar a igualdade. Sendo uma sentença verdadeira, o número considerado é raiz da equação.

Portanto o número 5 é raiz da equação.

Logo o conjunto solução é dado por 𝑆 = {1, 5}

Fórmula de Bhaskara

Essa fórmula é muito famosa e por mais que ela receba o nome desse matemático, ele não a desenvolveu e sim um conjunto de matemáticos brilhantes ao longo da História. Vamos conhecer essa fórmula, tão famosa?

Exemplo: Resolver a equação 𝑥2 − 6𝑥 + 5 = 0 utilizando a Fórmula de Bhaskara.

1º passo: Identificar os coeficientes da equação

a = 1, b = – 6 e c = 5

2º passo: Calcular o discriminante (Δ)

Δ= 𝑏² − 4𝑎𝑐
Δ= (−6)2 − 4 ∙ (1) ∙ (5)
Δ= 36 − 20
Δ= 16

3º passo: Substituir na Fórmula de Bhaskara.

Como o tempo não pode ser negativo, temos que t = 6 horas.

No exemplo que acabamos de resolver, o nível N de óleo no reservatório depende do tempo t, ou seja, N depende de t. Nesta situação dizemos que a variável N está em função da variável t. Essa é uma função polinomial do 2º grau, ou simplesmente, função quadrática.

Exemplo. Sabendo que o número de ouro é a solução positiva da equação 𝑥2 + 𝑥 − 1 = 0.

O seu valor é igual a

1º passo: Identificar os coeficientes da equação

a = 1, b = 1 e c = – 1

2º passo: Calcular o discriminante (Δ)

Δ= 𝑏2 − 4𝑎𝑐
Δ= (1)2 − 4 ∙ (1) ∙ (−1)
Δ= 1 + 4
Δ= 5

3º passo: Substituir na Fórmula de Bhaskara.

01 Observe a equação Marque a alternativa que indica suas soluções.

(A) S = {- 4, -1}
(B) S = {1, 4}
(C) S = {1, 3}
(D) S = {4, 5}
(E) S = {1, 5}

02 O nível de óleo em um reservatório varia com o tempo t, contado em horas, conforme a fórmula . Calcular o tempo, em horas, em que o nível do óleo desse reservatório chegará a zero.

03 As duas soluções de uma equação do 2° grau são – 3 e 1. Então a equação é:

(A) x² +2x – 3 = 0
(B) x² – 2x + 1 = 0
(C) x² + x – 6 = 0
(D) x² + 2x – 1 = 0
(E) x² –3x + 2 = 0

04 Resolva a equação do 2° grau 2x² + x – 3 = 0.

05 Determine a maior raiz da equação

– 2x² + 3x + 5 = 0.

06 (IFAL/2019) Sendo x1 e x2 as raízes da equação x2 – 5x + 6 = 0, o resultado do produto x1 x2 é:

(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6

07 (UTF-PR/2018) Dada a equação do segundo grau:

3x² – 20x + 12 = 0

Assinale a alternativa que apresenta o conjunto solução da equação dada.

08 (IFMT/2017) Sobre as raízes da equação –3x² – 12x – 12 = 0, todas as alternativas são verdadeiras, EXCETO:

09 (IFSC/2017) Dada a equação quadrática

3x² + 9x – 120 = 0,

determine suas raízes e assinale a alternativa que contém a resposta CORRETA.

(A) –16 e 10
(B) –5 e 8
(C) –8 e 5
(D) –10 e 16
(E) –9 e 15

10 (IFG-GO/2016) Pablo participou, na sua escola, das Olimpíadas de Matemática. A prova continha 35 questões. A soma dos valores reais de x que satisfazem a equação do 2º grau

16 de maio de 2022

Determinar conjunto solução de uma equação polinomial de 1º grau.

Equação polinomial do 1º grau

As equações de primeiro grau são sentenças matemáticas que estabelecem relações de igualdade entre termos conhecidos e desconhecidos, representadas sob a forma:

ax + b = 0

Onde a e b são números reais, sendo a um valor diferente de zero (a ≠ 0) e x representa o valor desconhecido, denominado de incógnita.

1º Exemplo

Qual é o valor da incógnita x que torna a equação verdadeira?

Resolução

2º Exemplo

Resolva as equações a seguir.

a) 2x – 3 = 0

Resolução

b) 3(2x – 5)= 7

Resolução

c) 2(3-x) +3 (2x+4)=10

Resolução

Resolução

Resolução

Vamos calcular o mínimo múltiplo comum dos denominadores.

01

02

(OBMEP/2015) Qual é o número que está escondido pelo borrão?

(A) 10(B) 11(C) 12(D) 13(E) 14

03

(CAED/2022) Observe a equação a seguir.

2𝑥 + 5 = −25 + 3 ∙ (𝑥 + 20)

O conjunto solução dessa equação é

(A) S = {- 20}(B) S = {- 10}(C) S = {- 30}(D) S = {10}(E) S = {8}

04

(IFMT/2013) Resolva a equação do primeiro grau:

05

(UNICAMP/2016-Adaptada) Observe a equação a seguir.

O conjunto solução dessa equação é

(A) S = {7}(B) S = {11}(C) S = {11/7}(D) S = {7/11}(E) S = {11,7}

06

(Encceja/2017-Adaptada) Leia o texto a seguir.

O valor de x, em quilograma, é igual a

(A) 1.(B) 2.(C) 5.(D) 8.(E) 10.

Compreender relações entre medidas de ângulos formados por um feixe de retas paralelas cortadas por uma reta transversal.

Retas paralelas cortadas por uma transversal

A interseção da reta t com as retas paralelas r e s deu origem aos ângulos a, b, c, d, e, f, g e h.

Os ângulos podem ser classificados como internos ou externos, e dois ângulos podem ser colaterais ou alternos.

Ângulos alternos internos

Note que o ângulo d é congruente com o ângulo f e o ângulo e é congruente com o ângulo c, ou seja, 𝑑 ̂

Ângulos alternos externos

Note que o ângulo a é congruente com o ângulo g e o ângulo b é congruente com o ângulo h, ou seja,

1º Exemplo

Determine o valor real de x, sabendo que r//s.

Perceba que os ângulos 3x + 15o e x + 75o são alternos externos portanto,

3x + 15o = x + 75o

resolvendo a equação temos,

3x – x = 75o – 15o2x = 60ox = 30o

Ângulos colaterais internos

Note que o ângulo d e o ângulo e são suplementares, assim como os ângulos c e f, ou seja,

Ângulos colaterais externos

Note que o ângulo a e o ângulo h são suplementares, assim como os ângulos b e g, ou seja,

2º Exemplo

Determine o valor real de x, sabendo que r//s.

Perceba que os ângulos 3x + 15o e x + 25o são colaterais internos portanto,

3x + 15o + x + 25o = 180o

resolvendo a equação temos,

4x + 40o = 180o4x = 180o – 40o4x = 140ox = 35o

01

Determine o valor real de x, sabendo que r//s.

As retas r e s da figura são paralelas cortadas pela transversal t. Se a medida do ângulo B é o triplo da medida do ângulo A, então B – A vale:

03

Duas retas paralelas cortadas por uma transversal formaram um par de ângulos alternos internos representados por: 2x – 45o e x + 22o. Determine o valor de x e a medida de desses ângulos.

04

Dois ângulos colaterais internos foram formados quanto traçamos duas restas paralelas cortadas por uma transversal. Sabendo que esses ângulos são representados por A = 3x + 25o e B = 2x + 45o, determine o valor dos ângulos A e B.

05

Duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, então a afirmativa falsa é

(A) os ângulos colaterais internos são congruentes.(B) os ângulos correspondentes são congruentes.(C) os ângulos alternos internos são congruentes.(D) os ângulos alternos externos são congruentes.(E) os ângulos colaterais externos não são congruentes.

06

Duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam dois ângulos colaterais externos, de medidas 3x + 30o e 7x + 50°. Calcule a medida do ângulo agudo.

07

Duas retas formam, com uma transversal, ângulos alternos internos, expressos em graus por 7x – 1° e 4x + 5o. Calcule o valor de x, a fim de que essas retas sejam paralelas.

08

Na figura, a seguir, as retas r e s são paralelas. Os ângulos de medidas 60o e 120o são:

(A) congruentes, pois são colaterais internos.(B) congruentes, pois são correspondentes.(C) congruentes, pois são alternos internos.(D) suplementares, pois são colaterais internos.(E) suplementares, pois são colaterais externos

(A) 10
(B) 11
(C) 12
(D) 13
(E) 14

(A) S = {- 20}
(B) S = {- 10}
(C) S = {- 30}
(D) S = {10}
(E) S = {8}

(A) S = {7}
(B) S = {11}
(C) S = {11/7}
(D) S = {7/11}
(E) S = {11,7}

(A) 1.
(B) 2.
(C) 5.
(D) 8.
(E) 10.

**Determine o valor real de x, sabendo que r//s.**

Perceba que os ângulos 3x + 15^o e x + 75^o são alternos externos portanto,

3x + 15^o = x + 75^o

3x – x = 75^o – 15^o
2x = 60^o
x = 30^o

**Determine o valor real de x, sabendo que r//s.**

Perceba que os ângulos 3x + 15^o e x + 25^o são colaterais internos portanto,

3x + 15^o + x + 25^o = 180^o

4x + 40^o = 180^o
4x = 180^o – 40^o
4x = 140^o
x = 35^o

Duas retas paralelas cortadas por uma transversal formaram um par de ângulos alternos internos representados por: 2x – 45^o e x + 22^o. Determine o valor de x e a medida de desses ângulos.

Dois ângulos colaterais internos foram formados quanto traçamos duas restas paralelas cortadas por uma transversal. Sabendo que esses ângulos são representados por A = 3x + 25^o e B = 2x + 45^o, determine o valor dos ângulos A e B.

(A) os ângulos colaterais internos são congruentes.
(B) os ângulos correspondentes são congruentes.
(C) os ângulos alternos internos são congruentes.
(D) os ângulos alternos externos são congruentes.
(E) os ângulos colaterais externos não são congruentes.

Duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam dois ângulos colaterais externos, de medidas 3x + 30^o e 7x + 50°. Calcule a medida do ângulo agudo.

Duas retas formam, com uma transversal, ângulos alternos internos, expressos em graus por 7x – 1° e 4x + 5^o. Calcule o valor de x, a fim de que essas retas sejam paralelas.

Na figura, a seguir, as retas r e s são paralelas. Os ângulos de medidas 60^o e 120^o são:

(A) congruentes, pois são colaterais internos.
(B) congruentes, pois são correspondentes.
(C) congruentes, pois são alternos internos.
(D) suplementares, pois são colaterais internos.
(E) suplementares, pois são colaterais externos

(A) 60^o
(B) 120^o
(C) 150^o
(D) 180^o
(E) 210^o

(A) 120°
(B) 100°
(C) 140°
(D) 130°
(E) 110°

(A) 90°.
(B) 60°.
(C) 100°.
(D) 70°.
(E) 80°.

**Na figura, a seguir, estão representadas as retas r, s e t. Sabendo-se que as retas r e são paralelas, calcule, em graus, o valor de y.**

Um polinômio da forma 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 é dito polinômio do 2º grau de uma variável x, com a diferente de zero. Chamamos de equação do 2º grau ou equação quadrática na incógnita x a igualdade entre esse polinômio e o número zero.

𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ 𝑒 𝑎 ≠ 0

Uma equação do 2º grau na forma 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 é uma equação reduzida ou geral.

Incógnita: x
Coeficientes: a, b e c
Termo independente: o coeficiente c

Exemplo:
9𝑥2 − 3𝑥 + 2 = 0 é uma equação completa, pois
𝑎 = 9, 𝑏 = −3 𝑒 𝑐 = 2.

a) 𝑥2 + 6𝑥 = 0 é uma equação incompleta, pois 𝑎 = 1, 𝑏 = 6 𝑒 𝑐 = 0.
b) −𝑥2 + 4 = 0 é uma equação incompleta, pois 𝑎 = −1, 𝑏 = 0 𝑒 𝑐 = 4.
c) 7𝑥2 = 0 é uma equação incompleta, pois 𝑎 = 7, 𝑏 = 0 𝑒 𝑐 = 0.

(1)2 − 6 ∙ (1) + 5 = 0
1 − 6 + 5 = 0
−5 + 5 = 0
0 = 0 (𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑎)

(5)2 − 6 ∙ (5) + 5 = 0
25 − 30 + 5 = 0
−5 + 5 = 0
0 = 0 (𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑎)

Δ= 𝑏² − 4𝑎𝑐
Δ= (−6)2 − 4 ∙ (1) ∙ (5)
Δ= 36 − 20
Δ= 16

Δ= 𝑏2 − 4𝑎𝑐
Δ= (1)2 − 4 ∙ (1) ∙ (−1)
Δ= 1 + 4
Δ= 5