ATIVIDADE 17 – Dízima periódica e fração geratriz.

Dízima Periódica e fração geratriz.

O número 0,333… é chamado de decimal periódico não exato (dízima periódica), e sendo um número racional, podemos associar esse número a uma fração, denominada de fração geratriz. Logo, toda dízima periódica, deve possuir uma forma fracionária. Temos dois tipos de dízima periódica.

I) Dízima periódica simples: o período (algarismo ou algarismos que se repetem) começa a partir da virgula.

Exemplos:

0,3333…, período 3 (período com um algarismo)

0,232323…, período 23 (período com dois algarismos)

1,123123…, período 123 (período com três algarismos)

II) Dízima periódica composta: antes do período começar, existem números que não fazem parte do período (Chamamos de antiperíodo).

0,5333…, período 3 e antiperíodo 5.

0,15666… período 6 e antiperíodo 15

2,123646464… período 64 e antiperíodo 123

Para determinarmos uma fração geratriz vamos seguir os seguintes passos:

Dízima periódica simples:

1º passo: Igualar a dízima periódica a uma incógnita, por exemplo x, de forma a escrever uma equação do 1º grau com uma incógnita.

2º passo: Multiplicar ambos os lados da equação por um múltiplo de 10. Para descobrir qual será o múltiplo, devemos identificar quantos casas decimais devemos “andar” para que o período fique antes da vírgula.

3º passo: Subtrair da equação encontrada, a equação inicial.

4º passo: Resolver a equação obtida no 3º passo.

Exemplo. Determine a fração geratriz do número 0,777…

1º passo: Igualar a dízima periódica a uma incógnita de forma a escrever uma equação do 1º grau:

3º passo: Subtrair da equação encontrada, a equação inicial.

4º passo: Resolver a equação obtida no 3º passo.

Este processo pode ser simplificado seguindo a seguinte regra: coloca-se o período no numerador da fração e, para cada algarismo dele, coloca-se um algarismo 9 no denominador. Essa regra se a dízima for menor do que 1. Se for maior que 1, separamos a parte inteira e depois adicionamos a fração encontrada:

Menor do que 1:

Se for maior do que 1:

Dízima periódica composta:

1º passo: Igualar a dízima periódica a uma incógnita, de forma a escrever uma equação do 1º grau com uma incógnita.

2º passo: Multiplicar ambos os lados da equação por um múltiplo de 10, observando a quantidade de casas do antiperíodo. Depois repetir o mesmo processo da dízima periódica simples.

3º passo: Subtrair da última equação encontrada, a penúltima equação.

4º passo: Resolver a equação obtida no 3º passo.

Exemplo: Determine a fração geratriz do número 0,2333…

1º passo: Igualar a dízima periódica a uma incógnita, de forma a escrever uma equação do 1º grau.

2º passo: Multiplicar ambos os lados da equação por um múltiplo de 10, de modo que o antiperíodo fique antes da vírgula. Depois, obter outra equação, multiplicando por um múltiplo de 10 também, de modo que o antiperíodo e o período fiquem antes da vírgula.

3º passo: Subtrair da última equação encontrada, a penúltima equação.

4º passo: Resolver a equação obtida no 3º passo

Este processo pode ser simplificado seguindo a seguinte regra: Aqui, a dica é um pouco diferente: para cada algarismo do período ainda se coloca um algarismo 9 no denominador. Mas, agora, para cada algarismo do antiperíodo se coloca um algarismo zero, também no denominador. No caso do numerador, faz-se a seguinte conta: (parte inteira com antiperíodo e período) – (parte inteira com antiperíodo)