Linguagem algébrica

   Na imagem a seguir temos uma sequência de figuras formadas por pentágonos.

Percebemos que:

1. A figura 1 é formada por um pentágono (possui 5 segmentos);
2. A figura 2 é formada por dois pentágonos (possui 9 segmentos);
3. A figura 3 por é formada por três pentágonos (possui 13 segmentos).

   Sabendo que as próximas figuras, seguem esse mesmo padrão, é possível determinarmos uma expressão  matemática que relacione a quantidade de segmentos  Q da figura que possui um número de pentágonos igual a n.

Sequências

Na Matemática, utilizamos as sequências numéricas (ou de figuras), que são aquelas que apresentam números  escritos (ou figuras dispostas) em determinada ordem preestabelecida. Cada elemento que compõe uma sequência é denominado termo desta sequência. A ordem em que o termo aparece é a posição dele na sequência.

Exemplos:

   (1, 2, 3, 4, 5, 6, …): Sequência dos números naturais.

   (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …): Sequência dos números naturais primos.

   (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …): Sequência dos números naturais ímpares.

Classificação das sequências

• Sequência recursiva: Uma sequência é recursiva quando cada termo depende do termo anterior ou de termos anteriores (conhecido como termo inicial).                                                        

 Exemplos:

• (1, 5, 9, 13, 17, …) – Nesta sequência, cada termo, a partir do segundo, é o termo anterior adicionado 4 unidades. Observe:

  Esta sequência é chamada de sequência aditiva.

• (2, 6, 18, 54, 162, …) – Nesta sequência, cada termo, a aprtir do segundo, é o temo anterior multiplicado por 3. Observe:

• Sequência não recursiva: São as sequências que não dependem de termos anteriores para determinar o próximo termo.

 Exemplos:

• (1, 2, 4, 8, 16, …) – Esta sequência é formada pelas potências de base 2, portanto os termos não dependem do termo anterior. Observe:

(3, 6, 9, 12, 15, …) – Esta sequência é formada pelos múltiplos naturais de 3, portanto os termos não dependem do termo anterior. Observe:

Lei de formação ou Termo Geral de uma sequência

   A lei de formação é a expressão algébrica ou “fórmula” que determina todos os termos de uma sequência.

   1) Observe a sequência não recursiva (1, 3, 9, 27, …) qual será o próximo termo desta sequência?

   2) Observe a sequência recursiva (1, 4, 7, 10, …) qual será o próximo termo desta sequência?

Sequência de Fibonacci

Sequência de Fibonacci é a sequência numérica proposta pelo matemático Leonardo Pisa, mais conhecido como Fibonacci. Nesta sequência, cada termo a partir do terceiro, é a soma dos dois termos anteriores.

{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …}

Espiral de Fibonacci

ATIVIDADES

1. Escreva uma expressão algébrica que represente cada situação, utilize variáveis para representar os valores  desconhecidos.

  A) O quádruplo de um número.

  B) A terça parte de um número.

  C) Um número adicionado a 3.

  D) O cubo de um número mais 5

  E) A raiz quadrada de um número.

 2. Determine o valor numérico das expressões.

 A) 5x – 4, para x = 2.

 B) 3x + y – 2, para x = – 4 e y = 3.  3.

3. Na escola onde Nícolas estuda, a média anual de uma disciplina é calculada utilizando a expressão a seguir:

 4. (Obmep- Adaptada) Um queijo foi partido em quatro pedaços de mesmo peso. Três desses pedaços pesam o  mesmo que um pedaço mais um peso de 0,8 kg.

A) Sendo o peso de cada pedaço de queijo representado pela letra x, escreva a expressão algébrica que permite  calcular o valor de x.

B) A letra x na expressão algébrica que você escreveu é uma variável ou uma incógnita? Justifique sua resposta.

C) Qual é o peso de cada pedaço de queijo?

D) Qual era o peso do queijo inteiro?

  5. Nas sequências numéricas a seguir, escreva uma expressão algébrica que relacione cada numero (n) à sua posição (p) na sequência.

  A) 2, 4, 6, 8, …

  B) 1, 3, 5, 7, 9, …

  C) 1, 4, 7, 10, …

  D) 1, 6, 11, 16, 21, …

  6. João usou palitos de dente para construir quadrados, um ao lado do outro, conforme indicado abaixo.

Sabe-se que: na figura 1, temos 1 quadrado formado com 4 palitos; na figura 2, temos 2 quadrados formados  com 7 palitos; na figura 3, temos 3 quadrados formados com 10 palitos; e assim por diante. Nessas condições, qual é a expressão que representa a quantidade de palitos (p) usados na formação do número de quadrados (q)?

  (A) p = q + 3

  (B) p = 3q + 1

  (C) p = 4q

  (D) p = 4q + 1

  7. Observe a sequência dos números triangulares abaixo.

 8. Leonardo ganhou um casal de coelhos recém-nascidos. Imagine que os coelhos chegam à idade de acasalar um mês depois de nascer e que as fêmeas demoram um mês para parir, gerando apenas outro casal, e que vão aumentando de acordo com a sequência: {1, 1, 2, 3, 5, 8,…}. Quantos casais de coelhos ele terá depois de um ano?

  (A) 121

  (B) 144

  (C) 233

  (D) 377

9. Enumere cada sequência numérica na coluna da direita de acordo com as respectivas expressões que as representam na coluna da esquerda.

10. Qual é a expressão que permite calcular a quantidade de quadrados  das figuras desta sequência de acordo com sua posição ?