Números Racionais  

O conjunto dos números racionais é composto por todos os números que podem ser escritos na forma, sendo  e  números inteiros e .

Portanto, o conjunto dos números racionais engloba os números inteiros e os decimais finitos e infinitos periódicos.

Dízima Periódica

Os números decimais periódicos pertencem ao conjunto dos números racionais ( ), pois podem ser escritos na forma de fração. Por exemplo, o número 0,444… também pode ser escrito como quatro nonos:

Dízimas Periódicas Simples e Compostas

São exemplos de dízimas periódicas simples:

0,24242424… → parte inteira igual a 0 e período igual a 24

1,777777… → parte inteira igual a 1 e período igual a 7

345,189189189… → parte inteira igual a 345 e período igual a 189

São exemplos de dízimas compostas:

2,216666… → parte inteira igual a 2, antiperíodo igual a 21 e período igual a 6.

7,2345555… → parte inteira igual a 7, antiperíodo igual a 234 e período igual a 5.

21,1830303030… → parte inteira igual a 21, antiperíodo igual a 18 e período igual a 30.

Representação das dízimas periódicas

As dízimas podem estar escritas na forma de fração geratriz ou na forma de número decimal. Quando estiver escrita na forma decimal, colocamos três pontinhos no final para indicar que os algarismos se repetem infinitamente.

Podemos ainda representar esse tipo de número colocando um traço horizontal apenas em cima do seu período.

Exemplos:

Fração geratriz

Como vimos, as dízimas periódicas são números racionais e para encontrar a fração geratriz de uma dízima podemos aplicar um método prático.

Se o número for uma dízima simples, devemos colocar:

• No numerador, um número formado pelos algarismos inteiros e o período, menos os algarismos inteiros, sem a vírgula.
• No denominador, um número formado apenas por algarismos iguais a nove. A quantidade de “noves” dependerá de quantos algarismos formam o período da dízima.

Exemplo: A fração geratriz da dízima  será igual a

Se o número for uma dízima composta, devemos colocar:

• No numerador uma subtração entre o número formado pelos algarismos da parte inteira, o antiperíodo e o período (sem a vírgula) e o número formado pela parte inteira e o antiperíodo, também sem a vírgula.
• No denominador, um número formado apenas por algarismos iguais a nove. A quantidade de “noves” dependerá de quantos algarismos formam o período da dízima. A quantidade de “zeros” dependerá de quantos algarismos formam o antiperíodo.

Exemplo: A fração geratriz da dízima 7,3828282…  será igual a

Os números Irracionais

O conjunto dos números irracionais (I) é, diferentemente do conjunto dos números racionais (ℚ), composto apenas por números cuja representação decimal é infinita e não periódica.

Exemplos:

• Todas as raízes quadradas que não são números naturais, são números decimais infinitos não periódicos, portanto números irracionais:

• O valor da constante  (pi), obtida a partir da razão entre o diâmetro e o comprimento de qualquer circunferência, é um número irracional:

O número de ouro, representado pela letra grega  (phi), também é uma constante algébrica irracional.

Também conhecida como razão áurea, média áurea, proporção divina e regra de ouro, pode ser obtida a partir de um segmento de reta. Seja a medida da parte maior deste segmento  e  a menor como na figura abaixo:

Agora, tomemos uma expressão de modo que especificamente a soma de ambas, dividida pela parte maior seja igual a parte maior dividida pela menor,

Localização de números irracionais na reta numérica

Por se tratar de números decimais infinitos não periódicos, a localização dos números irracionais na reta numérica não pode ser feita com exatidão. Porém, podemos estimar a localização desses números de diferentes formas. Como exemplo, vamos demonstrar dois procedimentos para estimar a localização do número :

1° Procedimento:

ATIVIDADES

01. Expresse na forma de fração os seguintes números racionais.

a) 0,8888…

b) 1,454545…

c) 3,7777…

d) 0,04444…

e) 2,63111…

  02. (Enem 2015 – ADAPTADO) No contexto da matemática recreativa, utilizando diversos materiais didáticos para motivar seus alunos, uma professora organizou um jogo com um tipo de baralho modificado. No início do jogo, vira-se uma carta do baralho na mesa e cada jogador recebe em mãos nove cartas. Deseja-se formar pares de cartas, sendo a primeira carta a da mesa e a segunda, uma carta na mão do jogador, que tenha um valor equivalente àquele descrito na carta da mesa. O objetivo do jogo é verificar qual jogador consegue o maior número de pares. Iniciado o jogo, a carta virada na mesa e as cartas da mão de um jogador são como no esquema:

Segundo as regras do jogo, quantas cartas da mão desse jogador podem formar um par com a carta da mesa?

03. O número real representado por 0,5222… é

  04. (Ufrgs 2008) Se x = 0,949494… e y = 0,060606…, então x + y é igual a

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