Cálculo de probabilidades

Consideremos a seguinte situação:

Na festa de final de ano de uma escola compareceram 160 alunos. Todos estavam sentados em poltronas do anfiteatro da escola para a cerimônia de encerramento do ano letivo. Observe o quadro a seguir, que mostra o quantitativo de estudantes por turma.

Cada estudante preencheu, na entrada, uma ficha com o nome e a turma a que pertencia. Essa ficha foi colocada em uma urna para o sorteio de alguns prêmios.

Vamos analisar alguns fatos referentes a este sorteio!

Sabendo que um dos 158 alunos foi sorteado aleatoriamente para um prêmio, é possível saber a que turma ele pertence antes do sorteio?

Não há como saber antes do sorteio.

Antes do sorteio é possível saber qual turma tem mais possibilidade de ter um aluno sorteado?

Como a turma do 7° ano tem mais estudantes, há maior probabilidade de ser sorteado um aluno dessa turma.

Qual é a turma com menos possibilidade de ter um aluno sorteado?

Como a turma do 6° ano tem menos estudantes, há uma menor probabilidade de ser sorteado um estudante dessa turma.

A probabilidade de ocorrência de um evento em um experimento aleatório é calculada da seguinte maneira:

Vamos calcular a probabilidade de ser sorteado um estudante do 8° ano!

Neste caso, o número de possibilidades favoráveis é igual a 40 e o número total de possibilidades é igual a 160, portanto a probabilidade de ser sorteado um estudante do 8° ano é igual a

Sabendo que do total de estudantes desta escola, 64 são meninos, qual seria a probabilidade de ser sorteada uma menina?

Neste caso, o número de possibilidades favoráveis é igual a 160 – 64 = 96 e o número total de possibilidades é igual a 160, portanto a probabilidade de ser sorteada uma menina é igual a

Eventos Independentes e Eventos Dependentes

Considere que no interior de uma urna há 10 fichas numeradas de 1 a 10, sendo que as fichas são únicas, ou seja, não há fichas com números repetidos. Analise os eventos a seguir:

• EVENTO A: retirar uma ficha com um número par.
• EVENTO B: retirar uma ficha com um número ímpar.

Após retirarmos uma ficha com um número par e a devolvermos à urna qual a probabilidade de retirarmos uma ficha com número ímpar?

O símbolo𝑃(𝐵|𝐴) significa: probabilidade de ocorrer o evento B sendo que o evento A já ocorreu.

Nos experimentos em que um evento não interfere na ocorrência do outro (por exemplo, fichas recolocadas na urna a cada sorteio), trabalhamos com eventos independentes.

Agora, considere a mesma situação da urna com as 10 fichas numeradas de 1 a 10, e os eventos a seguir:

· EVENTO C: retirar uma ficha com o número 4.

· EVENTO D: retirar uma ficha com um número par.

O símbolo𝑃(D|C) significa: probabilidade de ocorrer o evento D sendo que o evento B já ocorreu.

Nos experimentos em que um evento interfere na ocorrência de outro (por exemplo, fichas não recolocadas a cada sorteio), trabalhamos com eventos dependentes.

Probabilidade de dois Eventos Sucessivos Dependentes e Independentes

Para se obter a probabilidade de ocorrerem dois eventos sucessivos ou simultâneos, que é , basta multiplicar a probabilidade de um deles ocorrer pela probabilidade de ocorrer o outro, sabendo que o primeiro já ocorreu.

 A fórmula para o cálculo da probabilidade de dois eventos sucessivos ou simultâneos, é dada por:

Quando o fato de ter ocorrido o evento B não alterar a probabilidade de ocorrer o evento A, ou seja, quando A e B forem eventos independentes, a fórmula se reduz a:

Considere a situação a seguir.

Uma urna contém 4 bolas azuis, 3 bolas amarelas e 3 bolas verdes. Retira-se ao acaso e sucessivamente, três bolas desta urna, sem reposição. Qual a probabilidade de saírem três bolas azuis?

No momento da primeira retirada existem 4 bolas azuis na urna. Portanto a probabilidade de a primeira bola que sair ser azul é igual a

Como não há reposição, no momento da segunda retirada existem 3 bolas azuis na urna. A probabilidade de a segunda bola que sair ser azul é igual a

No momento da terceira retirada restam 3 bolas azuis na urna. A probabilidade de a terceira bola que sair ser azul é igual a

Portanto, a probabilidade de saírem sucessivamente 3 bolas azuis é igual a

Em um baralho de 52 cartas, quatro cartas são retiradas aleatoriamente, sucessivamente e sem reposição. Deixando os cálculos indicados, determine a probabilidade de as cartas retiradas serem:

a) 4 damas;

b) um ás, um valete, uma dama e um rei, nessa ordem;

c) três cartas de paus e uma de ouros, nesta ordem.♣♠

ATIVIDADES

01. Marcelo escreveu em fichas de papelão todos os números de dois algarismos que podem ser compostos com os algarismos 4, 5, 8 e 9.

Com as faces voltadas para baixo, as fichas foram embaralhadas e Marcelo retirou uma delas.  Indique, nas formas fracionária e percentual, a probabilidade de a ficha retirada por Marcelo conter um número:

a) ímpar

b) par

c) maior que 90

d) menor que 58

e) primo

02. Um saco contém bolas de formatos idênticos, mas com cores diferentes. São três bolas azuis, quatro vermelhas, duas amarelas e uma branca. Renato retirou aleatoriamente uma bola deste saco.

 A probabilidade de a bola retirada por Renato ser

03. Classifique os eventos a seguir, em Dependentes (D) ou Independentes (ID):

(      )  Obtermos cara no segundo lançamento de uma moeda que foi lançada duas vezes, sabendo que obtivemos cara no primeiro lançamento.

(    )  Retirar duas bolas azuis, ao acaso e sem reposição, de uma urna que contém três bolas azuis e sete vermelhas.

(     )  Retirar 3 peças defeituosas, ao acaso e com reposição, de um lote que contém 10 peças, sendo 6 boas e 4 defeituosas.

(     ) Sortear duas fichas dentre 12 fichas numeradas de 1 a 12 em uma urna, casualmente sem reposição, sendo a primeira ficha numerada com um múltiplo de 2 e a segunda com um múltiplo de 3.

04. Cada afirmativa a seguir relaciona dois eventos (A) e (B). Assinale a única afirmativa em que os eventos (A) e (B) são independentes.

(A) Selecionar um valete em um baralho comum (A), sem recoloca-lo e então selecionar uma dama (B).

(B) Jogar uma moeda e obter coroa (A) e jogar um dado e obter uma face par (B).

(C) Estudar xadrez (A) e ser um bom xadrezista (B).

(D) Retirar uma camiseta gola polo (A) e depois retirar outra camiseta gola polo (B), sem reposição, de um baú contendo cinco camisetas gola polo e cinco camisas manga longa.

05. Uma fábrica produz e engarrafa sucos nos sabores: uva, pêssego e laranja. Considere uma caixa com 12 garrafas desses sucos, sendo 4 garrafas com cada sabor.

Retira-se, ao acaso, 2 garrafas dessa caixa, uma após a outra. Nestas condições, a probabilidade de que ambas as garrafas contenham suco de uva é igual a

06. Uma caixa contém 15 bolas, sendo que 4 são azuis, 5 são vermelhas e 6 são brancas. Três bolas serão retiradas dessa caixa, uma após a outra e sem reposição. Nestas condições.

Determine a probabilidade de as bolas retiradas serem:

a) todas azuis;

b) todas vermelhas;

c) todas brancas:

07. Um jovem, querendo telefonar para sua namorada, percebe que esqueceu o último dígito do número da moça, e então decide tentar acertar o dígito que falta na sorte.

Qual a probabilidade de o jovem acertar o último dígito que falta só na terceira tentativa?

08.  Em uma central de atendimento, cem pessoas receberam senhas numeradas de 1 até 100. Uma das senhas é sorteada ao acaso.

Qual é a probabilidade de a senha sorteada ser um número de 1 a 20?

a) (   )  1/100           

b) (   )  19/100   

c) (   )  20/100   

d) (   )  21/100  

09. Em uma escola existem 80 alunos do 1º ano, 70 alunos do 2º ano e 50 alunos do 3º ano. Serão sorteados 3 alunos para um congresso estudantil em Brasília. Nestas condições, qual a probabilidade de sortear um aluno de cada série?