Função de 1° grau

Neste tópico estudaremos sobre função de primeiro grau e suas aplicações em nosso cotidiano. Na matemática o conceito de função é definido como sendo uma relação de dependência entre duas grandezas que segue uma determinada regra. Esta regra pode ser representada por meio de uma tabela, de uma fórmula algébrica ou de um gráfico.

Vejamos algumas situações envolvendo a idéia de função.

Inicialmente, vamos representar essa relação por meio de uma tabela:

De acordo com a tabela, observamos que o valor a ser pago irá variar de acordo com a quantidade de litros.  Podemos observar que o valor a ser pago, na terceira coluna da tabela, é obtido multiplicando-se a quantidade de gasolina “os litros” pelo seu preço.

Na última linha da tabela utilizamos a variável  para representar “qualquer quantidade de gasolina”.

Podemos usar a letra  para representar o “valor a ser pago” e a seguinte notação , para dizer que o valor a ser pago “ ” está em função da quantidade de gasolina “ ”.

Sendo assim, a relação entre a quantidade de gasolina e o valor a ser pago, pode ser expressa também, pela seguinte fórmula:

Qual é a expressão algébrica que expressa seu salário em função do valor mensal de suas vendas?

Neste caso, precisamos de uma variável para representar o valor de venda mensal e utilizaremos a variável x. Chamaremos de  o valor do seu salário mensal. Portanto, podemos escrever a seguinte fórmula:

a) Vamos supor que no mês de fevereiro você conseguiu vender R$ 3000,00 em mercadoria. Qual será seu salário nesse mês?

A quantidade de venda no mês foi de R$ 5000,00, portanto substituiremos na fórmula a variável x pelo valor de R$ 5000,00:

Nesta fórmula, chamamos:

•  de coeficiente angular;
•  de coeficiente linear;
•  de variável;

Agora veremos alguns exemplos de função de 1° grau (também conhecida como função afim) e como identificar seus coeficientes angular e linear:

Neste caso, temos que o coeficiente angular é igual a 8 e o coeficiente linear é igual a 0 (quando o coeficiente linear não aparecer utilizaremos o número zero para representá-lo)

Valor numérico de uma função

          Como vimos anteriormente, a função de 1° grau depende de uma variável que geralmente representamos por x, de modo que essa variável pode assumir diferentes valores reais. Observe o exemplo a seguir:

Realizando esses cálculos percebemos que estamos estabelecendo uma relação de correspondência entre dois valores (formando pares) por meio de uma fórmula que descreve uma lei de formação:

Zero da função ou raiz da função de 1° grau

Gráfico de uma função

Agora utilizaremos as tabelas das funções g(x) e h(x) para realizar a construção de seus gráficos. Primeiro precisamos saber que o gráfico de uma função afim é uma reta. A imagem a seguir apresenta os casos possíveis para o gráfico de uma função de primeiro grau (crescente e decrescente):

O próximo passo e ligar esses pontos, lembrando que o gráfico é uma reta.

Assim, obtemos a reta f que é a representação gráfica da função .

Semelhança de triângulos

Quando nos deslocamos pelas cidades muita das vezes acabamos comparando as figuras (placas de sinalização, bueiros, etc) e formas geométricas (reservatório de agua, construções cíveis, etc) que deparamos pelo caminho, buscando alguma semelhança. Pode acontecer de essas figuras serem iguais, outras vezes delas serem semelhantes e pode ocorrer delas serem totalmente diferentes. Trazendo isso para o contexto da matemática, quando realizamos a comparação entre duas figuras, temos os possíveis resultados: figuras diferentes, figuras semelhantes e figuras congruentes. Sendo assim, nessa aula iremos discutir as condições e os casos de semelhança de triângulos.

Primeiramente, iremos verificar se os ângulos correspondentes são iguais:

Logo, todos os ângulos correspondentes são congruentes.

Em seguida, verificaremos se existe uma proporcionalidade entre seus lados correspondentes (também chamados de lados homólogos, que são os lados opostos aos ângulos correspondentes):

1° Caso: Ângulo-Ângulo (AA):

3° Caso: Lado-Ângulo-Lado (LAL):

Relação entre perímetros de triângulos semelhantes

Perímetro

Primeiro vamos lembrar que o perímetro de uma figura geométrica é a soma das medidas de todos os seus lados e representaremos por P. Agora consideraremos os triângulos semelhantes, a seguir, e tentaremos encontrar uma relação entre seus perímetros.

Se analisarmos, o valor 2 é a razão de semelhança entre os lados correspondentes dos triângulos. Sendo assim, temos a seguinte relação:

Área

 Da mesma forma que o perímetro, existe uma relação entre as áreas de triângulos semelhantes e a razão de semelhança.

Vejamos, nos triângulos anteriores temos que a razão de semelhança é igual a 2, desta forma, a razão entre suas áreas terá que ser igual a , ou seja, igual a 4.

          Para comprovar isso, iremos calcular a razão entre suas áreas, sendo assim, precisamos calcular a área de cada um:

Atividades

1. O salário de um professor é composto da seguinte maneira: uma parte fixa de R$ 550,00 mais R$ 25,00 por aula dada.

a) Escreva a função que representa o salário do professor.

b) Qual será o salário do professor supondo que ele deu 100 aulas no mês?

2. Uma empresa de manutenção de caixas eletrônicos paga a seus funcionários o auxílio locomoção da seguinte maneira: 150,00 fixo mais R$ 0,50 por cada quilômetro rodado. Responda: 

a) Escreva a função que representa o valor recebido de auxílio locomoção em função da quilometragem percorrida.

b) Quanto ganhará de vale transporte no final do mês um funcionário que percorreu 450 km?

5. Considere, para determinada localidade, que o valor V em reais, cobrado na conta mensal de energia elétrica é calculado da seguinte maneira: para consumos inferiores ou iguais a 250 kWh, cobra-se o valor de R$ 0,40 por kWh mais uma taxa mínima de R$ 5,00. Para valores acima de 250 kWh, o valor do kWh é acrescido de 30%.

a) Obtenha a lei de formação que fornece o valor V cobrado pelo consumo de x kWh considerando que o valor de x esteja entre 0 e 250 kWh.

b) Calcule o valor a ser pago pelo consumo de 100 kwh.

c) Obtenha a lei de formação que fornece o valor V cobrado pelo consumo de x kWh considerando que o valor de x seja maior que 250 kWh.

d) Determine o valor a ser pago pelo consumo de 300 kwh.

6. Considere os triângulos apresentados na figura a seguir, onde as medidas estão em centímetros.

Responda:

a) É possível garantir que estes triângulos são semelhantes? Se sua resposta for sim, qual é o caso que garante essa semelhança?

b) Determine o valor de x.

c) Determine a razão entre o perímetro e a área destes triângulos.

8. Bruno deseja calcular a altura da caixa d’água de sua fazenda. Conversando com sua amiga Joaquina para encontrar uma forma de realizar os cálculos eles se lembraram de semelhança de triângulos. Para isso, durante o dia, eles observaram a sombra de um pedaço de madeira reto ao lado da caixa d’água e mediram o comprimento da sombra, que era de 0,6 metro. Já a sombra da caixa d’água era de 3,40 metros, conforme a imagem a seguir:

Disponível em: https://www.google.com/amp/s/m.exercicios.mundoeducacao.uol.com.br/amp/exercicios-matematica/exercicios-sobre-semelhanca-triangulos.htm. (Adaptado)Acesso em: 17 de mar. de 2022.

A altura do pedaço de madeira utilizado foi de 1,4 metros, sendo assim, qual foi o valor que Bruno e Joaquina encontraram, ou seja, qual a altura da caixa d’água?

9. Fernanda desenhou dois triângulos semelhantes. O primeiro tem perímetro igual a 15 cm, e o segundo tem perímetro igual a 90 cm. Se as medidas dos lados do primeiro triângulo são 3 cm, 5 cm e 7 cm, quais são as medidas dos lados do segundo triângulo?

10. Na figura a seguir, as medidas dos lados dos dois triângulos estão em centímetros.

Os valores de x e y, em centímetros, são respectivamente iguais a

A) 3,5 e 5.

B) 5 e 3,5.

C) 5 e 7,5.

D) 7,5 e 5.