Estudo dos métodos de contagem (Princípio Fundamental Da Contagem)

A parte da matemática que estuda o número de possibilidades de um evento ocorrer é denominada de Análise Combinatória. Em uma linguagem simplificada, a Análise Combinatória é a arte de contar. Nem sempre contar é um processo simples. Por exemplo:

No sorteio da Mega Sena são sorteadas 6 dezenas escolhidas entre os números inteiros 1 e 60. De quantas formas distintas pode-se fazer essa escolha?  

Logo de início podemos perceber que existe um número muito grande de possibilidades para montarmos um jogo em uma cartela e que é necessária certa técnica para determinarmos quantas possibilidades existem.

Entendemos, portanto, que para calcular a quantidade de possibilidades de ocorrência de um determinado acontecimento usamos os métodos de contagem da Análise Combinatória. É importante notar que muitas vezes não teremos que representar todas as possibilidades de um experimento, dados que essa quantidade seria muito grande o que tornaria a tarefa difícil e cansativa. Na maioria das vezes só teremos que contar essas possibilidades. No entanto, a técnica que permite a descrição das possibilidades de um experimento é chamada de Diagrama ou Árvore de Possibilidades.

Árvore ou Diagrama de possibilidades

É um esquema que nos permite a visualização de todas as possibilidades de um acontecimento, a partir de um diagrama que se ramifica de acordo com as possibilidades do evento considerado. Para melhor explicar esta técnica vamos nos apoiar em um exemplo.

Exemplo 01. Uma moeda é lançada 3 vezes. Qual o número de sequências possíveis para cara ou coroa?

Solução: Note que no primeiro lançamento existem duas possibilidades: pode sair cara (K) ou pode sair coroa (C);

Já no segundo lançamento, existem quatro sequências possíveis. São essas: {(K,K);(K,C);(C,K);(C,C)};

Ao considerarmos o terceiro lançamento, existem agora oito sequências possíveis, que são: {(K,K,K); (K,K,C); (K,C,K); (K,C,C); (C,K,K); (C,K,C); (C,C,K); (C,C,C)}. Pelo diagrama teremos:

Fonte: O autor

Portanto temos oito sequências possíveis.

É importando notar que, se trocarmos a moeda por um dado com seis faces, e considerarmos os mesmos lançamentos teremos um número de possibilidades extremamente maior, pois para o primeiro lançamento teríamos seis possibilidades. No segundo lançamentos, para cada uma das seis primeiras ramificações, teríamos outras seis ramificações, e assim por diante, até o último lançamento.

Exemplo 02.  Para ir ao clube, Júnior deseja usar uma camiseta, uma bermuda e um par de tênis. Sabendo que ele dispõe de 4 camisetas, 2 bermudas e 3 pares de tênis, de quantas maneiras distintas poderá vestir-se?

Solução: Note que na primeira escolha Júnior disponha de 4 camisetas {C1, C2, C3, C4}. Já na segunda escolha, da bermuda, dispunha de 2 possibilidades {B1, B2} e, para a terceira escolha, possui 3 pares de tênis {T1, T2, T3}, assim nosso diagrama será:

Fonte: O autor

Portanto nestas condições, Júnior terá 24 possibilidades para se vestir.

Princípio Fundamental da Contagem

Se um acontecimento ocorrer em “n” etapas distintas e independentes entre si, A = {E₁, E₂, E₃, E₄, … ,E_n}, então o número total de possibilidades deste acontecimento ocorrer P(A) obtido fazendo-se o produto entre o número de possibilidades de ocorrência de cada etapa, ou seja, é:

Exemplo 3. Uma moeda é lançada 3 vezes. Qual o número de sequências possíveis para cara ou coroa?

Solução: Note que no primeiro lançamento existem duas possibilidades: pode sair cara (K) ou pode sair coroa (C) e P(L) o número de possibilidades do lançamento, teremos, pelo Princípio Fundamental da Contagem:

Total de possibilidades = P(L1) x P(L2) exp.(L3) = 2 x 2 x 2 = 8 possibilidades.

Note que por essa técnica, não existe a preocupação em descrever cada possibilidade, e sim só contamos o total de possibilidades.

Nestas condições, aplicando o mesmo critério, podemos contar quantas possibilidades de resultados podem ser obtidas se, ao invés de uma moeda, tivéssemos utilizado um dado. Assim teremos:

Total de possibilidades = P(L1) x P(L2) xP(L3) = 6 x 6 x 6 = 216 possibilidades.

Exemplo 4. Para ir ao clube, Júnior deseja usar uma camiseta, uma bermuda e um par de tênis. Sabendo que ele dispõe de 4 camisetas, 2 bermudas e 3 pares de tênis, de quantas maneiras distintas poderá vestir-se?

Solução: Número de possibilidades para se vestir P(V) depende do número de possibilidades de cada etapa:

a) 1ª Etapa: Escolha da camiseta = 4;

b) 2ª Etapa Escolha da bermuda = 2;

c) 3ª Etapa Escolha do tênis = 3,

P(V) = P(C) ∙ P(B) ∙ P(T) = 4 ∙ 2 ∙ 3 = 24 possibilidades.

Nestas condições, Júnior possui 24 maneiras distintas para se vestir.

Exemplo 5. As atuais placas de licenciamento de automóveis constam de sete símbolos (caracteres) sendo três letras, dentre as 26 do alfabeto, seguidas de quatro algarismos. Quantas placas distintas podem ter sem a repetição de letras ou de algarismos, ou seja, com todos os caracteres distintos?

Solução: Neste caso perceba que cada caractere da placa possui uma quantidade de escolhas possíveis.

Fonte: O autor

Para a 1ª letra: 26 possibilidades de escolha;

Para a 2ª letra: 25 possibilidades de escolha, uma vez que uma letra já foi escolhida;

Para a 3ª letra: 24 possibilidades de escolha, pois agora, duas letras já foram escolhidas.

Para o 1º algarismo: 10 possibilidades de escolha.

Para o 2º algarismo: 9 possibilidades de escolha, pois um algarismo já foi usado;

Para o 3º algarismo: 8 possibilidades de escolha, pois dois algarismos já foram usados;

Para o 4º algarismo: 7 possibilidades de escolha, pois três algarismos já foram usados.

Portanto, pelo Princípio Fundamental da Contagem:

N^o de Placas = 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 78.624.000 placas possíveis.

Nestas condições, o número de placas possíveis é 78.624.000.

      Outros problemas de contagem

      Anagramas: são permutações das letras de uma palavra , formado novas palavras, com ou sem sentido.

Exemplo 6. Quantos anagramas possuem a palavra ANEL?

A palavra ANEL tem 4 letras e qualquer uma destas letras pode assumir a primeira posição na palavra. Escolhendo esta letra, sobram outras 3 letras para a segunda posição. Em seguida, há 2 letras disponíveis e, escolhida essa 3^a letra, restará apenas 1 opção para 4^a letra.

Veja:

Assim, temos 24 anagramas da palavra ANEL.

O princípio fundamental da contagem, também chamado de princípio multiplicativo, é utilizado para encontrar o número de possibilidades para um evento constituído de n etapas. Para isso, as etapas devem ser sucessivas e independentes.

Se a primeira etapa do evento possui  possibilidades e a segunda etapa é constituída de  possibilidades, então existem  possibilidades.

Portanto, o princípio fundamental da contagem é a multiplicação das opções dadas para determinar o total de possibilidades.

Esse conceito é importante para a análise combinatória, área da Matemática que reúne os métodos para resolução de problemas que envolvem a contagem e, por isso, é muito útil na investigação de possibilidades para determinar a probabilidade de fenômenos. Veja o exemplo a baixo:

Exemplo 7. Um restaurante possui em seu cardápio 2 tipos de entradas, 3 tipos de pratos principais e 2 tipos de sobremesas. Quantos menus poderiam ser montados para uma refeição com uma entrada, um prato principal e uma sobremesa?

Utilizaremos a árvore de possibilidades para entender a montagem dos menus com entrada (E), prato principal (P) e sobremesa (S).

Pelo princípio fundamental da contagem, temos: 2 x 3 x 2 = 12. Portanto, poderiam ser formados 12 menus com uma entrada, um prato principal e uma sobremesa.

  ATIVIDADES

01) Lívia quer pintar as quatro paredes de seu quarto de modo que paredes adjacentes tenham cores distintas e ainda não sejam repetidas as cores. Ela dispõe de cinco tipos de cores e considera que todas as paredes são diferentes. De quantas formas diferentes Lívia pode pintar seu quarto?

02) Um restaurante oferece 3 opções de carnes e 5 opções de saladas no prato feito (PF). Um cliente só pode escolher um tipo de carne e um tipo de salada. Nestas condições, de quantas maneiras distintas um cliente pode montar sua refeição?

03) No esquema a seguir, suponha que os países A, B e C possuem uma logística de transporte de mercadorias com o menor custo/tempo. Os números indicados representam o número de rotas distintas de transportes disponíveis, nos sentidos indicados. Por exemplo, de A até B são 5 rotas.

Nessas condições, o número total de rotas distintas, de A até C é igual a

04) O auditório de uma escola dispõe de 6 portas, que podem ser utilizadas tanto para entrada como para saída. De quantos modos distintos um estudante que se encontra fora do auditório pode entrar e sair do mesmo, utilizando como porta de saída uma porta diferente da que utilizou para entrar?

05) No vestiário de um clube de esportes, há exatamente 30 armários, cada qual para uso individual. No dia que ocorreu uma competição, um jogador foi utilizar o vestiário para mudar suas roupas e colocar seu uniforme, e neste momento, apenas 8 dos armários estavam desocupados.

Quantas opções este jogador terá para escolher seu armário?

06) Com objetivo de melhorar o transporte público, o prefeito de uma cidade propôs a construção de três terminais de ônibus. Para estabelecer conexão entre estes terminais, foram estipuladas as seguintes quantidades de linhas de ônibus:

– do terminal A para o B  5 linhas distintas;

– do terminal B para o C 7 linhas distintas;

Supondo que um passageiro utilize exatamente duas linhas de ônibus para ir do terminal  para o terminal  passando por pelo terminal , calcule a quantidade máxima de trajetos que ele poderá fazer.

07) Um palíndromo ou capícua é um número, que se lê da mesma maneira nos dois sentidos, ou seja, da esquerda para a direita ou ao contrário, como 333, 1661 e 28482.

Nestas condições, determine a quantidade máxima de palíndromos que podem ser escritos, com cinco algarismos distintos, do nosso sistema de numérico.

08) Dois anos após o início da pandemia, o cinema promete vir com força total. Grandes filmes da Marvel, DC Comics, e outros grandes estúdios são promessas para esse ano, tais como:

Fonte: https://www.youtube.com/results?search_query=expectativa+filmes+2022. Consulta em: 25 de abr. de 2022.

• Animais Fantásticos: Os Segredos de Dumbledore
• Jurassic World: Domínio
• The Batman
• Morbius
• Doutor Estranho no Multiverso da Loucura
• Thor: Amor e Trovão
• Adão Negro
• The Flash
• Aquaman e o Reino Perdido

Uma escola dará três ingressos de cinema como prêmio para cada estudante que tirar a melhor nota de sua turma. No entanto, cada estudante premiado deverá escolher três diferentes filmes dentre os listados acima. Nestas condições, quantas opções diferentes de escolha cada estudante premiado terá?

09) Quantos anagramas possui a palavra CONTAGEM?

10) Ana estava se organizando para viajar e colocou na mala 3 calças, 4 blusas e 2 sapatos. Quantas combinações Ana pode formar com uma calça, uma blusa e um sapato?

A) 12
B) 32
C) 24
D) 16