Expressões Algébricas

São expressões matemáticas que apresentam letras e números. As letras representam números desconhecidos e podem assumir diferentes valores, por isso tais letras numa expressão algébrica são chamadas de variáveis.

Em uma expressão algébrica, os termos são separados por uma soma ou diferença. Veja os exemplos:

I) 5n, 4x, xy e x² são expressões com 1 termo, são chamadas de monômios.

II) 2x + 2y é uma expressão com dois termos, portando é chamado de binômio.

III) 2x³ + 3 – 4z é uma expressão com três termos, chamado de trinômio.

As Expressões Algébricas e as Regularidades

Uma das regularidades mais comuns é a sequência dos números naturais: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …}.

A cada número dessa sequência, acrescentamos 1 unidade. Os números ímpares também seguem uma regularidade: {1, 3, 5, 7, 9, …}. A cada número dessa sequência acrescentamos 2 unidades.

Outra regularidade muito comum é a dos múltiplos naturais de um número, como a dos múltiplos de 6. {0, 6, 12, 18, 24, …}

Considere a imagem a seguir e encontre o próximo número e a expressão numérica que a represente:

Analisando a imagem vemos que o primeiro elemento é o número 1, o segundo elemento o número 4 e o terceiro elemento o número 9. Para descobrimos o próximo termo precisamos encontrar a lei de formação dessa sequência.

Expressões Algébricas Equivalentes

Duas ou mais expressões algébricas são equivalentes quando ao substituirmos variáveis iguais por um mesmo número, as expressões têm o mesmo valor numérico.

Vamos verificar se as duas expressões a seguir são equivalentes, para m = 5:

Portanto, 2m + 2 = 2 ∙ (m + 1).

Grandezas Diretamente ou Inversamente Proporcionais

Definimos que grandeza é tudo aquilo que pode ser medido. Duas grandezas são ditas proporcionais, à medida que se uma varia a outra também vai variar na mesma taxa proporcional.

Vejamos dois exemplos:

No primeiro, vamos supor que um automóvel a uma velocidade de 60km/h consegue percorrer a distância de 300km em um determinado período de tempo. Se dobrarmos a sua velocidade para 120km/h a distância percorrida também irá dobrar, ou seja, ele conseguirá percorrer 600km no mesmo intervalo de tempo.

No segundo, vamos supor que um automóvel deseja percorrer uma determinada distancia com velocidade média de 80km/h e leve 5h para completar esse percurso. Se ele dobrar a sua velocidade, precisará de menos tempo para realizar esse percurso, ou seja, ele realizará o mesmo percurso em 2h e 30 minutos.

Como podemos observar nos exemplos, pode acontecer que uma grandeza aumente e a outra também aumente na mesma taxa, mas também pode acontecer que uma grandeza aumente e a outra diminua na mesma taxa. No primeiro caso as grandezas são chamadas de Diretamente Proporcionais e no segundo caso dizemos que as grandezas são Inversamente proporcionais.

Grandezas Diretamente Proporcionais

Vejamos algumas grandezas diretamente proporcionais: Velocidade e Distância percorrida, quanto maior a velocidade maior será a distância percorrida. Gravidade e Peso, quanto menor a gravidade menor será o peso. Número de pessoas e Quantidade necessária de mantimentos para alimentá-las, quanto maior for o número de pessoas, maior deverá ser a quantidade de mantimentos destinados a alimentação.

Exemplo: Amanda tem 4 gatos e, para alimentá-los, precisa de 2 kg de ração por semana. Ao dobrar a quantidade de semanas, a quantidade de ração também dobra. Ao triplicar a quantidade de semanas, a quantidade de ração também triplica. Organizando um quadro, temos:

Podemos concluir que as grandezas quantidade de ração e número de semanas são diretamente proporcionais, pois quando uma dobra, a outra também dobra, quando uma triplica, a outra também triplica, etc.

Escala cartográfica

Sabemos que os mapas são reproduções reduzidas de uma determinada área. Mas essa redução não ocorre de forma aleatória, e sim de maneira proporcional, ou seja, resguardando uma relação entre as medidas originais e suas representações. A expressão numérica dessa proporção é a escala. Por exemplo: se uma escala de um determinado mapa é 1 : 500, significa que cada centímetro do mapa representa 500 centímetros do espaço real. Consequentemente, essa proporção é de 1 por 500.

Exemplo: Uma vila de 7,5 km de extensão, deverá ser representada em um mapa de escala 1 : 250 000. Qual deverá ser a medida da extensão desta vila no mapa, em centímetros?

Se a escala do mapa é de 1 : 250 000,  significa que a representação desta vila no mapa, deverá ser reduzida 250 000 vezes do seu tamanho original.

Primeiro passo é converter a extensão da cidade para centímetros:

Agora vamos reduzir a extensão da cidade na mesma proporção:

Logo, a extensão da vila no mapa deverá medir 3cm.

Grandezas Inversamente Proporcionais

Vejamos algumas grandezas inversamente proporcionais: Velocidade e Tempo gasto em uma viagem, se aumentar a velocidade o tempo gasto será menor, se diminuir a velocidade o tempo gasto será maior. Valor recebido por um prêmio de loteria e a quantidade de ganhadores, quanto maior for a quantidade de ganhadores, menor será o valor do prêmio recebido por um.

Exemplo: Um garçom serviu uma pizza em 4 mesas: na mesa A havia 1 pessoa, na mesa B havia 2 pessoas, na mesa C havia 4 pessoas e na mesa D havia 8 pessoas. Considere o quadro a seguir.

Ao analisar o quadro, percebe-se que os números são inversamente proporcionais. Ou seja, ao dobrar a quantidade de pessoas, o número de fatias de pizza por pessoa passa a ser a metade; se a quantidade de pessoas é quadruplicada, o número de fatias de pizza por pessoa passa a ser a quarta parte e se a quantidade de pessoas é multiplicada por 8 o número de fatias por pessoa passa a ser um oitavo. Nesta situação, as grandezas quantidade de pessoas e número de fatias de pizza por pessoa são inversamente proporcionais.

ATIVIDADES

1. Escreva uma expressão algébrica que represente cada situação, utilize variáveis para representar os valores desconhecidos.

a) O triplo de um número.

b) A quarta parte de um número.

c) Um número adicionado a 1.

d) O quadrado de um número mais 3.

e) A raiz cubica de um número.

2. Escreva uma expressão algébrica que relacione os números à sua posição na sequência.

a) 2, 4, 6, 8, …

b) 1, 3, 5, 7, 9, …

c) 5, 8, 11, 14, …

d) 1, 6, 11, 16, 21, …

3. João usou palitos de dente para construir quadrados, um ao lado do outro, conforme indicado abaixo.

Sabe-se que: na figura 1, temos 1 quadrado formado com 4 palitos; na figura 2, temos 2 quadrados formados com 7 palitos; na figura 3, temos 3 quadrados formados com 10 palitos; e assim por diante.

Nessas condições, qual é a expressão que representa a quantidade p de palitos usados na formação de q quadrados?

(A) p = q + 3

(B) p = 3q + 1

(C) p = 4q

(D) p = 4q + 1

 4. Um estacionamento cobra R$ 5,00 pela primeira hora de uso e, a cada hora adicional, cobra mais R$ 3,00. Se Vítor deixou o carro nesse local por 3 horas, quanto vai pagar de estacionamento?

(A) R$ 9,00

(B) R$ 11,00

(C) R$ 13,00

(D) R$ 15,00

6. Verifique se os números da linha indicada por x em relação aos números correspondentes da linha indicada por y são diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais.

a)

b)

c)

d)

7. Complete o quadro de cada item, de modo que os números da linha indicada por x e os números correspondentes da linha indicada por y sejam:

a) diretamente proporcionais.

b) Inversamente proporcionais

8. Divida o número indicado de acordo com a orientação em cada item.

a) 45 em partes diretamente proporcionais a 2 e 3.

b) 56 em partes inversamente proporcionais a 3 e 4.

9. Um suco de 3.600 ml foi preparado seguindo a orientação de misturar 2 partes de suco concentrado com 7 partes de água. Qual foi a quantidade de suco concentrado utilizada?

(A) 800 ml.

(B) 900 ml.

(C) 1000 ml.

(D) 1100 ml.

10.  João, Gabriel e Marcos juntaram dinheiro para comprar um pacote promocional de figurinhas. Para isso, eles deram R$ 2,00, R$ 3,00 e R$ 4,00, respectivamente. Sabendo que o pacote vem com 90 figurinhas, quantas figurinhas cada um deverá receber?

11. Em determinado laboratório encontra-se duas amostras de populações de bactérias distintas. A primeira espécie, tem sua população dobrada a cada 15 minutos e a segunda espécie, dobra sua população em 20 minutos, conforme mostra a tabela a seguir:

Com base nessas informações após 4 horas, qual será a quantidade total de bactérias no laboratório?

12. João e Maria decidiram jogar na mega-sena. João entrou com R$ 270,00 e Maria com R$ 180,00. Ganharam um prêmio de R$ 129 600,00 que deve ser repartido de maneira proporcional a quantia que cada um deles entrou. Quanto deverá receber cada um?

13. Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 360km/h, faz o percurso de Paris a Amsterdã em 4 horas. Supondo que seja aumentada a velocidade média para 480km/h, quanto tempo ele levaria para fazer esse mesmo percurso?

14. Uma empresa de manutenção de caixas eletrônicos paga a seus funcionários o vale transporte da seguinte maneira: 150,00 fixo mais R$ 0,50 por cada quilometro rodado. Com base nisso, responda: 

a) Escreva a função que representa o valor recebido no vale transporte em função da quantidade de km percorrido.

b) Quanto ganhará de vale transporte no final do mês um funcionário que percorreu 450 km?

15. Bruno decidiu fazer um bico como motorista de aplicativo para poder complementar sua renda. Trabalhando 4 horas por dia durante 10 dias, ganhou a quantia de R$ 1.022.00. Responda:

a) Quanto ganhará, se ele passar a trabalhar 6 horas por dia durante esses 10 dias?

b) Qual será o seu ganho mensal, se trabalhar 6 horas por dia?