EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU

Definição: Chama-se equação do 1º grau toda equação da forma, ou redutível à forma:

Nesta equação, a e b são chamados de coeficientes e x recebe o nome de incógnita. A parte que fica antes da igualdade (do lado esquerdo) é chamada de 1º membro, a parte que fica depois da igualdade (à direita da igualdade) é denominada de 2º membro. Na equação do 1º grau a incógnita é o valor que se deseja determinar.

Exemplo 1:

Resolver uma equação significa determinar o valor que atribuído a x fará com que a igualdade se torne verdadeira, e será chamado de raiz da equação.

Para isso temos com método de resolução a aplicação dos seguintes princípios algébricos:

PRINCÍPIO ADITIVO: Quando se soma (ou se subtrai) qualquer número real nos dois membros de uma equação, ela não se altera.

PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO: Quando se multiplica (ou se divide) toda uma equação por qualquer número real diferente se zero, ela não se altera.

A aplicação desses princípios garante a obtenção de equações equivalentes, que são assim denominadas por possuírem o mesmo conjunto solução.

Quando juntamos os dois princípios acima formamos o chamado Princípio da Igualdade.

PRINCÍPIO DA IGUALDADE: Uma equação não se altera quando adicionamos, subtraímos, multiplicamos ou dividimos um mesmo número (diferente de zero) a cada um de seus membros.

MÉTODO DE RESOLUÇÃO

Com base na aplicação dos princípios citados acima, temos o desenvolvimento dos seguintes passos:

1º) Coloca-se todos os coeficientes que estiverem acompanhados pelas incógnitas em um dos membros da igualdade e aqueles que não estão acompanhados do outro.

Então teremos

2º) Efetua-se as devidas operações algébricas dos dois lados da igualdade.

3º) Divide-se toda equação de modo a deixar o coeficiente de x igual a 1. Neste caso divide-se toda equação por ( –3 )

Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto solução (S) é {7}.

O conjunto verdade ou conjunto solução é o conjunto das raízes da equação.

Exemplo 2: Resolva a equação do 1º grau.

Por esta, x só poderá assumir valores que sejam diferentes de 0 e de  -1. Isso se deve ao fato de que se x assumir qualquer desses valores o resultado do denominador será zero o que não é possível, uma vez que não existe divisão por zero.

Esta condição é chamada de Condição de Domínio ou Condição de Existência.

Neste caso o primeiro passo a ser dado é tirarmos o mínimo múltiplo comum dos denominadores nos dois membros da equação, a fim de reduzi-las ao mesmo denominador.

EQUAÇÃO LITERAL

Uma equação do primeiro grau na incógnita ‘x’ é dita literal se, além da incógnita x, aparecerem outras letras. Essas letras são chamadas de parâmetros. Resolver uma equação do 1º grau literal é ainda isolar o valor de x, contudo neste caso, a incógnita x ficará em função dos valores associados na equação se estes não se eliminarem no processo de resolução.

EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM DUAS INCÓGNITAS

Uma equação do 1º grau com duas incógnitas pode ser representada por uma sentença algébrica do tipo ax + by = c, em que a e b são coeficientes, c é o termo independente, pois não está sendo multiplicado por incógnitas e, x e y são as incógnitas. Veja os exemplos;

O conjunto de valores que atribuídos a ‘x’ e a ‘y’ satisfazem a igualdade é o conjunto solução que, neste caso, é representado pelo par ordenado (x, y). Observe a equação 3x + 2y = 8 admite como solução;

Percebemos então que existe uma infinidade de pontos que podem satisfazer a igualdade e, consequentemente, podemos representar o conjunto de todos os pontos que são solução da equação no plano cartesiano por meio de uma reta. Neste caso teremos a situação ilustrada ao lado.

É correto concluirmos que todos os pontos desta reta formam pares ordenados que são soluções da equação 3x + 2y = 8.

EXPRESSÕES ALGÉBRICAS

   As expressões algébricas são aquelas expressões matemáticas que possuem números e letras, também conhecidas como variáveis. Utilizamos as letras para representar valores desconhecidos ou até mesmo para analisar o comportamento da expressão de acordo com o valor dessa variável. O valor numérico de uma expressão algébrica é o valor que se obtém quando se substitui (numa determinada expressão algébrica), as variáveis, por valores numéricos, e se efetuam as operações indicadas na ordem em que estas devem ser operadas. Dessa forma quando se substitui a variável de uma expressão algébrica por um número e se é efetuado os cálculos, se obtém o valor numérico da expressão.

                                             VALOR NÚMERICO DE UMA EXPRESSÃO ALGÉBRICA

   Para obter o valor numérico de uma expressão algébrica, você deve proceder do seguinte modo:

   1º Substituir as letras por números reais dados.

   2º Efetuar as operações indicadas, devendo obedecer à seguinte ordem:

   a) Potenciação

   b) Divisão e multiplicação

   c) Adição e subtração

Exemplo 3: Calcular o valor numérico de 2x + 3a para x = 5 e a = -4

  2. x+ 3.a

  2. 5 + 3. (-4)

  10 + (-12)

        -2

ATIVIDADES

01. Resolva as seguintes equações na variável x, sendo U = R:

02. Resolva as seguintes equações na variável x, sendo U = R:

03. Utilizando a linguagem matemática para um número “x” real, escreva:

a) sucessor de um número:

b) o dobro de um número:

c) o triplo de um número:

d) o dobro do sucessor de um número:

e) a metade de um número:

f) a terça parte de um número:

g) quatro quintos de um número:

h) cinco quantos de o antecessor de um número:

04. Resolva os problemas atribuindo “x” à incógnita:

a) O dobro de um número somado a 7 é igual a 17 unidades. Qual é o número?

b) A terça parte do antecessor de um número subtraída de 15 resulta em 8 unidades. Que número é esse?

c) A soma do sucessor de um número com sua metade é igual a 16. Qual é o valor desse número?

A) -2           

B) +2                       

C) -8                       

D) +8

06. É de entendimento comum em matemática que o conjunto solução de uma equação o conjunto de todos os números reais, ou seja, em uma equação o valor que x poderá assumir é qualquer número real “ℝ”. No caso de uma equação fracionária devemos excluir todos os possíveis valores de x que possam zerar os denominadores das frações, uma vez que não existe divisão por zero.  

A)  U = R – {1}.

B)  U = R – {2}.

C)  U = R – {1, 2}.

D)  U = R^* – {1, 2}.

A) 1.

B) 2.

C) 3.

D) 4.

  09.  Um aluno do 8º Ano, comprou uma camisa com o preço dado pela expressão 8x – 261 = 9 + 2x. Qual o preço da camisa?

10.  Resolva as seguintes equações literais na variável x, sendo U = R:

a)         ax- m = 3x

b)         ax + c = bx + 3c

c) 2(ax- 1) = x(b + a)

d) m(x+ 1) + 2(x – m) = m    

11. Determine os valores de x para os quais a figura 1 tem o mesmo perímetro da figura 2.

  12. Verifique para quais das equações abaixo o par ordenado (–1, 2) é solução:

a) 2x + 5y = – 2

b) –3x + 7y = 17

13. Resolva os problemas abaixo por meio de equações do 1º grau com duas incógnitas:

 a) A soma de dois números é 57. O maior deles é igual ao menor, mais 5. Quais são os dois números?

   b) Quero repartir 120 em duas parcelas. A maior delas deve superar a menor em 16 unidades. Quais devem ser as parcelas?

 15.  Calcule o valor numérico das expressões:

  a) x – y (para x =5 e y = -4)

  b) 3x + a (para x =2 e a=6)

  c) 2x + m (para x = -1 e m = -3)

16. (CPERB). Carlos é gerente de uma loja de jogos. Para calcular seu lucro em cada jogo, em reais, cada jogo que vende, é usada a seguinte formula: P = 3 J + 3,9 sendo P o preço a ser vendido, J o preço real do produto antes da venda. Produto antes da venda. Considere que o preço de um jogo X seja de R$ 4,50. Então, ele vende esse jogo por

 A) R$ 17,40.

 B) R$ 13,50.

 C) R$ 17,50.

 D) R$ 13,40.

17. (Proeb). O preço do quilo de carne em um açougue é dado pela função p = 9x – 3, sendo x a quantidade   de quilos de carne comprada. O preço de 7 quilos de carne é

 A) R$ 63,00.

 B) R$ 60,00.

 C) R$ 66,00.

 D) R$ 65,00.

18. Marta contratou um bufê para a festa de seu aniversário. Esse bufê utiliza a expressão: 10c + 25p + 250 para fazer o orçamento de uma festa, sendo c o número de crianças e p o número de adultos convidados para o evento. Marta convidou 15 crianças e 50 adultos. Ela deverá pagar ao bufê?

 A) 285 reais.

 B) 1 400 reais.

 C) 1 650 reais.

 D) 2 850 reais