Expressões Algébricas

Em nosso cotidiano deparamos com situações que apresentam valores desconhecidos, ou seja, termos variáveis que podem assumir diferentes valores. Vejamos alguns exemplos: O preço a pagar em uma corrida de um taxi, esse valor é desconhecido e varia de acordo com a quantidade de quilômetros percorridos; O valor a pagar em uma conta de luz no final do mês, esse valor depende da quantidade de quilowatts por horaconsumido.

Nessas situações, que apresentam valores desconhecidos, utilizamos as variáveis para representa-los. Essas, variáveis são letras que são utilizadas para representar valores desconhecidos. Assim, definimos essas expressões que apresentam letra e números como sendo expressões algébricas.

Os termos de uma expressão algébrica são as partes adicionadas ou subtraídas. Veja os exemplos:

I) 5n, 4x, xy e  x² são expressões com 1 termo, são chamadas de monômios.

II) 2x + 2y é uma expressão com dois termos, portando é chamado de binômio.

III) 2x³ + 3 – 4z é uma expressão com três termos, chamado de trinômio.

As Expressões Algébricas e as Regularidades

Uma das regularidades mais comuns é a sequência dos números naturais: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …}.

A cada número dessa sequência, acrescentamos 1 unidade. Os números ímpares também seguem uma regularidade: {1, 3, 5, 7, 9, …}. A cada número dessa sequência acrescentamos 2 unidades.

Outra regularidade muito comum é a dos múltiplos naturais de um número, como a dos múltiplos de 6. {0 6, 12, 18, 24, …}

Considere a imagem a seguir e encontre o próximo número e a expressão numérica que a represente:

JS Design/Arquivo da editora.

Analisando a imagem vemos que o primeiro elemento é o número 1, o segundo elemento o número 4 e o terceiro elemento o número 9. Para descobrimos o próximo termo precisamos encontrar a lei de formação dessa sequência.

Expressões Algébricas Equivalentes

Duas ou mais expressões algébricas são equivalentes quando o valor numérico atribuído a mesma variável tem o mesmo resultado.

Vamos verificar se as duas expressões a seguir são equivalentes, para m = 5:

Grandezas Diretamente ou Inversamente Proporcionais

Definimos que grandeza é tudo aquilo que pode ser medido. Na matemática, ao trabalhar com medidas diferentes buscamos estabelecer uma certa razão entre elas. Ao realizar uma igualde entre duas diferentes razões encontramos uma proporção. Através dessa proporção conseguimos estabelecer uma relação entre essas grandezas, de forma que, à medida que uma varia a outra também vai variar na mesma taxa proporcional.

Vejamos dois exemplos:

No primeiro vamos supor que um automóvel a uma velocidade de 60km/h consegue percorrer a distância de 300km em um determinado período de tempo. Se dobrarmos a sua velocidade para 120km/h a distância percorrida também irá dobrar, ou seja, ele conseguirá percorrer 600km no mesmo intervalo de tempo.

No segundo vamos supor que um automóvel deseja percorrer uma determinada distancia, se a sua velocidade média for de 80km/h ele irá gastar 5h para completar esse percurso, agora se dobrarmos a sua velocidade isso significa que ele precisará de menos tempo para realizar esse percurso, ou seja, ele realizará o mesmo percurso com o 2h e 30 minimotos.

Como podemos observar nos exemplos, pode acontecer de a medida que uma grandeza aumenta a outra também irá aumentar na mesma taxa; pode acontecer de a medida que uma grandeza aumenta a outra irá diminuir na mesma taxa. Isso acontece porque existem grandezas que são Diretamente Proporcionais e grandezas que são Inversamente proporcionais.

Grandezas Diretamente Proporcionais

Duas grandezas são diretamente proporcionais se a medida que uma aumenta a outra também aumenta na mesma proporção, de tal forma que a razão entre elas permaneça constante.

Exemplos de grandezas proporcionais: velocidade e distância percorrida, quanto maior a velocidade maior será a distância percorrida; gravidade e peso, quanto menor a gravidade menor será o peso; Pessoa e alimento, quanto maior o número de pessoas, maior será a quantidade de alimento necessária para alimenta-las;

Exemplo: Amanda tem 4 gatos e, para alimentá-los, precisa de 2 kg de ração por semana. Ao dobrar a quantidade de semanas, a quantidade de ração também dobra. Ao triplicar a quantidade de semanas, a quantidade de ração também triplica. Organizando um quadro, temos:

Podemos concluir que as grandezas quantidade de ração e quantidade de semanas são diretamente proporcionais, pois quando uma dobra, a outra também dobra, quando uma triplica, a outra também triplica, etc.

Exemplo: No estudo da cartografia, utilizamos um conceito matemático chamado de escala, que é a relação matemática entre as dimensões reais do objeto e a sua representação no mapa. Assim, em um mapa de escala 1:25.000, considerando que a vila da folha tem 7,5 Km de extensão entre seus extremos qual será a sua representação em cm?

Como o enunciado fala que a escala é de 1: 25.000, ou seja, a representação desta cidade no mapa, foi reduzida 25000 vezes o seu tamanho inicial.

Grandezas Inversamente Proporcionais

Duas grandezas são inversamente proporcionais se à medida que uma aumenta a outra diminui na mesma proporção, ou seja, a razão entre dois valores de uma grandeza é igual ao inverso da razão dos valores correspondentes da outra grandeza.

Exemplos de grandezas inversamente proporcionais: velocidade e tempo, se aumentar a velocidade o tempo gasto será menor, se diminuir a velocidade o tempo gasto será maior; números de funcionários e a quantidade de tempo para realizar um serviço, à medida que aumentamos a quantidade de funcionários diminuímos o tempo que será gasto para realizar o serviço.

Exemplo: Um garçom serviu uma pizza em 4 mesas: na mesa A havia 1 pessoa, na mesa B havia 2 pessoas, na mesa C havia 4 pessoas e na mesa D havia 8 pessoas. Considere o quadro a seguir.

Ao analisar a tabela, percebe-se que os números são inversamente proporcionais. Ao dobrar a quantidade de pessoas, o número de fatias de pizza por pessoa passa a ser a metade; se a quantidade de pessoas é quadruplicada, o número de fatias de pizza por pessoa passa a ser a quarta parte. Nessa situação, as grandezas quantidade de pessoas e quantidade de fatias de pizza são inversamente proporcionais.

ATIVIDADES

1. Escreva uma expressão algébrica que represente cada situação, utilize variáveis para representar os valores desconhecidos.

a) O triplo de um número.

b) A quarta parte de um número.

c) Um número adicionado a 1.

d) O quadrado de um número mais 3.

e) A raiz cubica de um número.

2. Escreva uma expressão algébrica que relacione os números à sua posição na sequência.

a) 2, 4, 6, 8, …

b) 1, 3, 5, 7, 9, …

c) 1, 4, 7, 10, …

d) 1, 6, 11, 16, 21, …

3. João usou palitos de dente para construir quadrados, um ao lado do outro, conforme indicado abaixo.

JS Design/Arquivo da editora.

Sabe-se que: na figura 1, temos 1 quadrado formado com 4 palitos; na figura 2, temos 2 quadrados formados com 7 palitos; na figura 3, temos 3 quadrados formados com 10 palitos; e assim por diante.

Nessas condições, qual é a expressão que representa a quantidade p de palitos usados na formação de q quadrados?

(A) p = q + 3

(B) p = 3q + 1

(C) p = 4q

(D) p = 4q + 1

 4. Um estacionamento cobra R$ 5,00 pela primeira hora de uso e, a cada hora adicional, cobra mais R$ 3,00. Se Vítor deixou o carro nesse local por 3 horas, quanto vai pagar pelo período estacionado?

(A) R$ 9,00

(B) R$ 11,00

(C) R$ 13,00

(D) R$ 15,00

6. Verifique se os números da linha indicada por x em relação aos números correspondentes da linha indicada por y são diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais.

a)

b)

c)

d)

7. Complete o quadro de cada item, de modo que os números da linha indicada por x e os números correspondentes da linha indicada por y sejam:

a) diretamente proporcionais.

b) Inversamente proporcionais

8. Divida o número indicado de acordo com a orientação em cada item.

a) 45 em partes diretamente proporcionais a 2 e 3.

b) 56 em partes inversamente proporcionais a 3 e 4.

9. Um suco de 3.600 ml foi preparado seguindo a orientação de misturar 2 partes de suco concentrado com 7 partes de água. Qual foi a quantidade de suco concentrado utilizada?

(A) 800 ml.

(B) 900 ml.

(C) 1000 ml.

(D) 1100 ml.

10.  João, Gabriel e Marcos juntaram dinheiro para comprar um pacote promocional de figurinhas. Para isso, eles deram R$ 2,00, R$ 3,00 e R$ 4,00, respectivamente. Sabendo que o pacote vem com 90 figurinhas, quantas figurinhas cada um deverá receber?

11. Em determinado laboratório encontra-se duas amostras de populações de bactérias distintas. A primeira espécie, tem sua população dobrada a cada 15 minutos e a segunda espécie, dobra sua população em 20 minutos, conforme mostra a tabela a seguir:

Com base nessas informações após 4 horas, qual será a quantidade total de bactérias no laboratório?

12. João e Maria decidiram jogar na mega-sena. João entrou com R$ 270,00 e Maria com R$ 180,00. Ganharam um prêmio de R$ 129 600,00 que deve ser repartido de maneira proporcional a quantia que cada um deles entrou. Quanto deverá receber cada um?

13. Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 360km/h, faz o percurso de Paris a Amsterdã em 4 horas. Supondo que seja aumentada a velocidade média para 480km/h, quanto tempo ele levaria para fazer esse mesmo percurso?

14. Uma empresa de manutenção de caixas eletrônicos paga a seus funcionários o vale transporte da seguinte maneira: 150,00 fixo mais R$ 0,50 por cada quilometro rodado. Com base nisso, responda: 

a) Escreva a função que representa o valor recebido no vale transporte em função da quantidade de km percorrido.

b) Quanto ganhará de vale transporte no final do mês um funcionário que percorreu 450 km?

15. Bruno decidiu fazer um bico como motorista de aplicativo para poder complementar sua renda. Trabalhando 4 horas por dia durante 10 dias, ganhou a quantia de R$ 1.022.00. Responda:

a) Quanto ganhará, se ele passar a trabalhar 6 horas por dia durante esses 10 dias?

b) Qual será o seu ganho mensal, se trabalhar 6 horas por dia?