AULA 09/2022 – Inequação do 1° grau. Gráfico da equação do 1° grau. Equação do 2° grau. Mediatriz e bissetriz como lugares geométricos

Inequação do 1º grau

Chamamos de inequação do 1º grau toda desigualdade na variável x que pode ser reduzida a uma das formas: ax + b > 0 ou ax + b ≥ 0 ou ax + b < 0 ou ax + b ≤ 0, em que a, b ∈ R e a ≠ 0.

Enquanto uma equação expressa uma igualdade, a inequação expressa uma desigualdade.

Numa inequação utilizamos os símbolos: > (Maior que); < (Menor que); ≥ (Maior ou igual); ≤ (Menor ou igual)

Propriedades das desigualdades

Resolvemos uma inequação isolando a variável x na sentença. Para isso, devemos levar em conta as seguintes propriedades são utilizadas:

Resolução de uma inequação do primeiro grau.

A resolução de uma inequação de 1° grau assemelha-se à resolução de uma equação, vejamos os exemplos a seguir.

Exemplo 1:

Exemplo 2:

O dobro de um número somado à sua terça parte é maior que 14. Este número é necessariamente

A) maior que 6.

B) menor que 6.

C) maior que 2.

D) menor que 2.

Primeiro montamos a inequação.

Representação geométrica da solução de uma inequação

Podemos representar a solução de uma inequação do 1° grau por meio de um intervalo na reta numérica. Observe os exemplos a seguir.

Exemplo 3:

A seta para direita indica que os valores de x são infinitos continuando com os números inteiros maiores que 5.

Exemplo 4:

Logo, os valores de x que satisfazem a inequação, são todos os números racionais maiores que -2, que podem ser representados na reta numérica a seguir:

Observe que o número -2 não faz parte da solução, portanto neste ponto do intervalo a bola é aberta.

Equação do 1^o grau com duas incógnitas

Nesse modelo de equação, os valores de x e y estão ligados através de uma relação de dependência. Dependendo do conjunto universo, uma equação do 1º grau com duas incógnitas, x e y, por exemplo, pode ter infinitas soluções, cada uma delas indicada por um par ordenado de números: o primeiro número representa o valor da incógnita x (também chamada de abscissa); o segundo representa sempre o valor da incógnita y (também chamada de ordenada). Essa ordem precisa ser respeitada, daí o nome par ordenado. Indica-se: (x, y).

Plano cartesiano

O plano cartesiano é um sistema de coordenadas formado por dois eixos perpendiculares (eixo x e eixo y) que pertencem a um plano em comum. Os eixos dividem o plano em quatro quadrantes e são utilizados para demonstrar a localização de pontos neste plano.

A linha vertical é chamada de eixo das ordenadas (y). Já a linha horizontal é chamada de eixo das abscissas (x). Com a intersecção dessas linhas temos a formação de 4 quadrantes:

O ponto de intersecção dos eixos x e y é denominado de origem do plano cartesiano e tem a abscissa e a ordenada iguais a zera. O (0,0)

Os valores de x são positivos à direita da origem e negativos à esquerda.

Os valores de y são positivos acima da origem e negativos abaixo dela.

Exemplo 5:

Verifique se o par ordenado é solução da equação .

Lembrando que o primeiro número do par ordenado é o x e segundo o y vamos substituir seus valores nas incógnitas x e y.

Logo, o par ordenado é solução da equação .

Exemplo 6:

Depois, indicamos os pares ordenados no plano cartesiano. Com uma régua, traçamos a reta que passa por esses pontos.

Estudo de Lugares Geométricos Especiais

1 – Mediatriz de um Segmento:

É o lugar geométrico dos pontos no plano que são equidistantes a dois pontos fixos e distintos. Se esses pontos são ligados por um seguimento então a mediatriz é perpendicular a esse segmento. Em outras palavras, é uma reta que passa pelo ponto médio deste segmento e é perpendicular a ele. Portando, os pontos pertencentes a mediatriz é equidistante das extremidades deste segmento.

1.1 – Construção de uma Mediatriz

Podemos construir a mediatriz de um segmento de reta AB usando régua e compasso. Para isso, siga os seguintes passos:

Com uma régua trace um segmento de reta e nas suas extremidades marque o ponto A e o ponto B;
Pegue um compasso e faça uma abertura que seja um pouco maior que a metade da medida do segmento;
Com essa abertura, coloque a ponta seca do compasso no ponto A e trace um semicírculo. Permanecendo com a mesma abertura no compasso, faça a mesma coisa no ponto B;
Os semicírculos traçados se cruzaram em dois pontos C e D, um acima do segmento de reta e outro abaixo. Com a régua, una esses dois pontos, essa reta traçada é a mediatriz do segmento AB;
O ponto de encontro da mediatriz com o segmento AB é o ponto médio do segmento AB.

2 – Mediatriz de um triângulo

As mediatrizes de um triângulo são retas perpendiculares traçadas passando pelo ponto médio de cada um dos seus lados. Desta forma, um triângulo possui 3 mediatrizes.

O ponto de encontro dessas três mediatrizes é denominado de Circuncentro, na figura representado pelo ponto O. Este ponto é o centro da circunferência que circunscreve o triângulo, ou seja, o circuncentro é equidistante dos seus vértices do triângulo.

Como o circuncentro O é o centro da circunferência, o segmento AO é o raio da circunferência.

3 – Bissetriz de um Ângulo

É o lugar geométrico dos pontos no plano que são equidistantes de duas retas concorrentes. Podemos entender ainda que a bissetriz de um ângulo é a reta que divide o ângulo ao meio.

3.1 – Como construir uma Bissetriz

Podemos construir a bissetriz de um ângulo formado BÂC usando régua e compasso. Para isso, siga os seguintes passos:

Abra o compasso em qualquer distância e coloque sua ponta seca no vértice A do ângulo BÂC. Faça com ele um arco cruzando ambos os lados determinando dois pontos C e D;
Com a ponta seca do compasso em D construa um arco de circunferência, faço o mesmo do ponto E, de modo que os dois arcos se cruzem;
Trace uma reta passando pelos pontos A e pelo cruzamento dos arcos criados com o compasso centrado em E e D. Essa reta será a bissetriz do ângulo BÂC.

3.2 – Bissetrizes dos Ângulos Internos de um Triângulo

Em um triângulo as bissetrizes internas dividem os ângulos internos ao meio. O ponto de encontro dessas bissetrizes é chamado de Incentro. O incentro é o centro de uma circunferência que está inscrita no triângulo, e, portanto, é equidistante aos lados do triângulo.

ATIVIDADES

1. Considere a inequação a seguir:

Quais são os números naturais que solucionam esta equação?

(A) Os maiores que 10.

(B) Os menores ou iguais a 10.

(D) Os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.

2. Quero construir um retângulo cujo comprimento tenha 4 cm a mais que a medida da largura. Que medida da largura deve ter o retângulo para que seu perímetro seja maior que 60 cm?

3. Carlinhos perguntou a sua professora qual era a idade dela. A professora respondeu: O dobro da minha idade menos 10 anos é menor que 62 anos. A que conclusão Carlinhos pode ter chegado sobre a idade da professora?

7. Escreva quatro pares ordenados que sejam solução da equação 2x + y = 20.

8. Construa no plano cartesiano o gráfico que representa a equação 2x + y = 3.

10. Para construir um jardim uma pessoa ocupou uma superfície quadrada de 225m². Qual é a medida dos lados desse jardim?

11. O quadrado da minha idade mais 10 é igual a 266. Qual é a minha idade?

12. Observe o triângulo a seguir.

(A) mediana.

(B) mediatriz.

(D) altura.

13. Observe o triângulo inscrito na circunferência a seguir.

O ponto de encontro (H) das mediatrizes desse triângulo é denominado

(A) baricentro.

(B) ortocentro.

(D) circuncentro.

14. Determine x na figura a seguir:

15. Na figura a seguir, AD é bissetriz, então determine o valor do ângulo x.

16. Na figura a seguir, ON é bissetriz de MÔP e OQ é bissetriz de RÔP. Nestas condições o valor de x é

17. Uma indústria de medicamentos estuda um ponto de instalação de sua nova cede. Ela pretende se instalar em um ponto que seja equidistante das três cidades A, B e C. Observe no mapa que as três cidades não estão alinhadas e forma um triângulo. A posição do mapa para a instalação da indústria será

( A) o ortocentro do triângulo.

(B) o baricentro do triângulo.

(D) o circuncentro do triângulo.

18. A polícia rodoviária do nosso Estado estuda um ponto de instalação de seus postos de fiscalização. O órgão policial pretende se instalar o novo posto em um ponto que seja equidistante das três estradas retilíneas 1, 2 e 3, que ligam as cidades A, B e C. Observe no mapa que as três cidades não estão alinhadas e forma um triângulo. A posição do mapa para a instalação da indústria será

(A) o ortocentro do triângulo.