RETAS PARALELAS CORTADAS POR UMA TRANSVERSAL

Retas paralelas são aquelas que não se interceptam em nenhum ponto. Uma reta é transversal à outra se ambas  apresentam apenas um ponto em comum. Ao traçarmos duas retas r e s, tal que r // s (r é paralela a s), e uma reta transversal t que intercepte r e s, serão formados oito ângulos. Veja na imagem a seguir:

Ângulos alternos internos

Ângulos alternos externos

Exemplo 1. Determine o valor real de x, sabendo que r//s.

Perceba que os ângulos 3x + 15º e x + 75º são alternos externos, portanto:

 3x + 15º = x + 75º

Resolvendo a equação temos:

3x – x = 75º – 15º

2x = 60º

x = 30º

Ângulos colaterais internos

Ângulos colaterais externos

Exemplo 2. Determine o valor real de x, sabendo que r//s.

   Perceba que os ângulos 3x + 15º e x + 25º são colaterais internos, portanto:

   3x + 15º + x + 25º = 180º

   Resolvendo a equação temos:

   4x + 40º = 180º

   4x = 180º – 40º

   4x = 140º

   x = 35º   

SEMELHANÇA E RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

As relações métricas relacionam as medidas dos elementos de um triângulo retângulo (triângulo com um ângulo de 90º).

Os elementos de um triângulo retângulo estão apresentados na figura abaixo:

Sendo:

 a: medida da hipotenusa (lado oposto ao ângulo de 90º)
  b: cateto
  c: cateto
  h: altura relativa à hipotenusa
  m: projeção do cateto c sobre a hipotenusa
  n: projeção do cateto b sobre a hipotenusa

Para encontrar as relações métricas, utilizaremos semelhança de triângulos. Considere os triângulos semelhantes ABC, HBA e HAC, representados nas imagens:

Como os triângulos ABC e HBA são semelhantes (ΔABC ∼ ΔHBA), temos as seguintes proporções:

 TEOREMA DE PITÁGORAS

A mais importante das relações métricas é o Teorema de Pitágoras. Podemos demonstrar o teorema usando   a soma de duas relações encontradas anteriormente.

Vamos somar a relação b² = a  n com c² = a m, conforme mostrado abaixo:

Assim, no triângulo retângulo a seguir, o Teorema de Pitágoras pode ser enunciado como:

Exemplo 3. Encontre o valor de x e de y na figura abaixo:

TEOREMA DE TALES

Para melhor entendermos o enunciado do teorema, representaremos graficamente o feixe de retas paralelas interceptadas por retas transversais.

TEOREMA DE TALES NOS TRIÂNGULOS

Exemplo 5. No triângulo a seguir, determine o valor de x.

Atividades

1. Determine o valor real de x, sabendo que r//s.

2. Duas retas paralelas cortadas por uma transversal formaram um par de ângulos alternos internos representados por: x – 45º e x + 22º. Determine o valor de x e a medida de desses ângulos.

3. Duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam ângulos colaterais externos, cujas medidas, em graus, são dadas por A = 3x + 25° e B = 2x + 45°. Calcule a medida desses ângulos.

4. A medida da altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo é 12 cm e uma das projeções mede 9 cm. Calcule a medida dos catetos desse triângulo.

5. Determine a medida das projeções em um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 13 cm e um dos catetos 5.

6. Utilizando as relações métricas, determine os valores de a, b, c e h no triângulo retângulo a seguir.

Fonte: (PATARO e BALESTRI, Matemática essencial 9º ano, 2018, p. 191) PNLD

7. Sobre o triângulo ABC foi traçado o segmento de reta DE, conforme a imagem a seguir.

Sabendo que o segmento DE é paralelo à base AC do triângulo, então podemos afirmar que x é igual a:

A) 8,5

B) 9,0

C) 9,5

D) 10,0

8. Sabendo que as retas r, s e t são paralelas e analisando a imagem, podemos afirmar que x é igual a aproximadamente:

A) 1,10

B) 1,18

C) 1,20

D) 1,25

9. (Enem) A planta de determinado bairro de uma cidade apresentou o desenho a seguir. O responsável pelo departamento de obras do município constatou a ausência de algumas medidas nessa planta, as quais ele representou no projeto por x e y.

Com base nos dados do projeto, esse responsável pôde calcular corretamente os respectivos valores de x e y:

A) 35 m e 56 m

B) 25 m e 40 m

C) 35 m e 70 m

D) 56 m e 70 m

10. A distância entre os muros laterais de um lote retangular é exatamente 12 metros. Sabendo que uma diagonal desse lote mede 20 metros, qual é a medida do portão até o muro do fundo?

A) 10 metros

B) 12 metros

C) 14 metros

D) 16 metros

11. (IFG 2020) O desmatamento tem sido uma problemática crescente no Brasil. Supondo que, ao efetuar o desmatamento de uma determinada área, um madeireiro se depara com uma árvore que já se encontra quebrada; parte do tronco da árvore que se manteve fixa ao solo mede 3 m e forma com este um ângulo de 90⁰; a ponta da parte quebrada que toca o solo encontra-se a 4 m de distância da base da árvore. Qual era a altura da árvore antes de se quebrar:

A) 5 m

B) 7 m

C) 8 m

D) 9 m