Sequências numéricas

Sequência numérica é uma sucessão de números que geralmente possui uma lei de formação, com especificidades, como por exemplo, a sequência de números pares. Nas sequências numéricas é importante descobrir regularidades, para determinar os termos que faltam, ou os termos futuros.

Uma sequência numérica deve ser representada entre parênteses e ordenada. Exemplos:

• Sequência dos números naturais: (0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; …)
• Sequência dos números primos positivos: (2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; …)
• Sequência dos números ímpares positivos: (1; 3; 5; 7; 9; …):
• Sequência dos múltiplos de 3: (0; 3; 6; 9; 12; 15; 18; …)

As sequências são classificadas em: finita ou infinita. Em uma sequência numérica, o primeiro termo é representado por a₁, o segundo termo por a₂, o terceiro termo por a₃, e assim sucessivamente. Em uma sequência numérica finita o último termo é representado por a_n. A letra n indica a quantidade de termos da sequência ou a posição de cada termo. ( n ∈ N)

Situação Problema

Em 1202, um matemático italiano conhecido como Fibonacci propôs o seguinte problema:

 “Um homem pôs um par de coelhos num lugar cercado por todos os lados por um muro. Quantos pares de coelhos podem ser gerados a partir desse par em um ano se, supostamente, todos os meses cada par dá à luz um novo par, que é fértil a partir do segundo mês?” 

O problema afirma que

• No primeiro mês nasce apenas um casal;
• Casais amadurecem e reproduzem-se apenas após o segundo mês de vida;
• Não há problemas genéticos no cruzamento consanguíneo;
• Todos os meses, cada casal fértil dá à luz um novo casal;
• Os coelhos nunca morrem. 

Dessa forma, temos:

Mês 0 – Existe apenas um par de coelhos.

Mês 1 – Os coelhos só acasalam ao segundo mês, logo continua a haver apenas um casal.

Mês 2 – Neste mês já a fêmea deu à luz um par de coelhos, existindo agora dois pares de coelhos.

Mês 4 – O par original tem mais um par de coelhos. O par nascido no mês 2 também dá à luz e o par nascido no mês 3 acasalam, mas ainda não dão à luz. Isto faz um total de cinco pares. 

Mês 5 – Todos os pares que nasceram até há dois meses dão à luz, fazendo na totalidade 5 pares. 

Observe o fluxograma:

Ou seja:

Assim, com base na tabela, conseguimos resolver o problema, pois sabemos que o número de casais cresce de acordo com os termos da sequência, ou seja, o número de pares de coelhos em determinado mês, é a soma dos pares de coelhos existentes nos dois meses anteriores a este.

Então, ao final de um ano (12 meses) teremos: f₁₂  =144 casais de coelhos.

Desta forma, o problema acima é conhecido como Sequência de Fibonacci e é uma sequência recursiva considerada a mais antiga da Europa.

a) Quantos losangos devem compor as duas próximas figuras mantendo o padrão dessa sequência?

_______________________________________________________________________________________

b) Elabore um quadro que relacione a posição da figura e o número de losango que a compõe.

______________________________________________________________________________________

c) Quantos losango devem conter as figuras que ocupam as posições 10 e 11?

______________________________________________________________________________________

d) Qual é a expressão algébrica que descreve o padrão dessa sequência?

______________________________________________________________________________________

4. Complete as sequencias numericas abaixo, e seus respectivos fluxogramas.

a) 1, 5, 10, 15, 20, _______, _______, _______, …

b) 31, 27, 23, 19, 15, _______, _______, _______, …

5. A sequência formada pelas potências de 3 é um exemplo de sequência recursiva. Observe os três primeiros termos dessa sequência: 0,1, 3, 9, …

Elabore um fluxograma que represente uma maneira de obter todos os termos dessa sequência.

Lembre-se que: Fluxograma: é um tipo de diagrama, ou seja, uma representação esquemática de um processo ou algoritmo

6. Construa a sequência numérica descrita pelo fluxograma seguinte: