ÂNGULOS EM DOBRADURAS

Imagine as seguintes dobraduras em uma folha de papel A4

Utilizando o exemplo anterior, sabemos que um retângulo (folha de papel A4), é formado por dois pares de retas paralelas e 4 ângulos retos.

Observe que na dobradura ao meio, obtermos uma reta t que é transversal e perpendicular às paralelas r e s e formam ângulos congruentes com elas.

Se essa reta transversal não for perpendicular, ou seja, se os angulos formados por elas não forem de 90º, teremos pares de ângulos agudos e obtusos congruentes.

Isso é denominado Método das Perpendiculares! Na geometria, esse método nos diz que se duas retas paralelas são “cortadas” por uma transversal, seus Ângulos alternos são congruentes. 

Vamos descobrir o que são ângulos alternos ?

ÂNGULOS FORMADOS POR RETAS PARALELAS INTERSECTADAS POR UMA TRANSVERSAL.

Observe o que acontece quando a reta t que é transversal, mas não perpendicular intersecta as retas r e s

Podemos observar que foram formado 8 ângulos entre as retas.

Observe que:

1 + 2 = 180º e 3 + 4 = 180º                                    1 + 4 = 180º e 2 + 3 = 180º

Podemos afirmar então que 1 = 3 e 2 = 4

Da mesma forma, temos que:

5 + 6 = 180º e 7 + 8 = 180º                                    5 + 8 = 180º e 6 + 7 = 180º

Podemos afirmar então que 5 = 7 e 6 = 8

Isso acontece, pois, esses ângulos são opostos pelo vértice. Os ângulos opostos pelo vértice são sempre congruentes.

Agora, repare que :

4 + 5= 180º     3 + 6 = 180º   

Isso acontece, pois, esses ângulos são colaterais internos. Os ângulos colaterais internos são ângulos suplementares, ou seja, a soma dos dois é igual a 180°.

Agora, repare que :

2 + 7= 180º     1 + 8 = 180º   

Isso acontece, pois, esses ângulos são colaterais externos. Os ângulos colaterais externos são suplementares, ou seja, a soma dos dois é igual a 180°.

RIGIDEZ DO TRIÂNGULO

Leia a história abaixo:

Os três porquinhos e o lobo voador.

Era uma vez três irmãos porquinhos que viviam com a mãe. Os irmãos gostavam muito de formas geométricas, e viviam fazendo planos para construir suas casas de maneiras diferentes.

Um belo dia, a mãe, ciente da vontade dos filhos, orientou que os porquinhos saíssem de casa para construírem suas próprias vidas. Ela fez um farnel para cada um deles e forneceu algumas economias para que comprassem material para construírem as casas.

Os porquinhos sabiam que onde viviam havia um lobo mal que conseguia voar e gostava de comer suínos, mas não se intimidaram, e saíram do aconchego de sua mãe para construírem suas próprias casas.

O primeiro porquinho, construiu sua casa e resolveu fazer o telhado com formatos retangulares. 

O segundo porquinho, construiu sua casa e fez o telhado em formatos pentagonais, apesar dos avisos dos irmãos de que aquele telhado era frágil contra o sopro do lobo mal.   

O terceiro porquinho, por sua vez, precavido e paciente, resolveu construir sua casa com telhado em formas triangulares, pois ele sabia que os triângulos eram totalmente resistentes ao sopro do lobo voador.

Algum tempo depois, o lobo surgiu voando sobre a floresta. Percebendo a presença dos porquinhos foi logo voar sobre a casa pentagonal, soprou sobre o telhado, e ele, como era feito de polígonos frágeis, logo desabou. O segundo porquinho, em pânico, fugiu para a casa ao lado, a casa do irmão que havia trabalhado com retângulos.

O lobo dirigiu-se então para a casa de telhados retangulares, os porquinhos acharam que os retângulos eram polígonos rígidos, mas estavam enganados. O lobo mal voador soprou com mais força, e o telhado de retângulos, de fato, se deformou com a rajada de vento. Aproveitando a falta de fôlego do lobo mal, os porquinhos correram para a casa do irmão mais velho que havia feito o seu telhado com triângulos.

O irmão mais velho os abrigou e garantiu que tudo correria bem. Quando o lobo soprou novamente, o telhado, sequer mexeu um milímetro.

No dia seguinte, o lobo voltou a atacar a casa que restava, dessa vez tentou entrar pelos vértices do telhado. Como o porquinho mais velho era muito precavido, reforçou os vértices dos triângulos. O lobo, ao ficar sem ar de tanto soprar, fugiu desesperado e os três porquinhos continuaram sãos e salvos.

• Porque o porquinho mais velho conseguiu manter seu telhado intacto, enquanto seus irmãos perderam suas construções?

Isso aconteceu pois o triângulo, entre todos os polígonos, apresenta uma rigidez geométrica que os outros não têm. Uma vez construído, é impossível modificar a abertura de seus ângulos e construir outro triângulo. Essa propriedade tem bastante valor e é muito utilizada na carpintaria, na engenharia e na arquitetura – em especial, na construção da estrutura dos telhados, conhecida como tesoura ou treliça, feita em madeira e composta de diversos triângulos.

Tais triângulos impedem que um ventinho qualquer abale a estrutura, podendo levar o telhado chão abaixo, o que certamente aconteceria se fosse constituída de quadriláteros, ou pentágonos, pois quanto maior o número de vértices, mais “maleável” é o polígono.  

Armários, portões, andaimes e prateleiras que também possuem algum triângulo em sua estrutura têm sempre o mesmo intuito: aproveitar sua rigidez para evitar danos e deformações.

Observe algumas deformações que os retângulos e pentágonos podem ter e que não ocorrem com os triângulos: