Transformações geométricas

Transformações Geométricas são “movimentos”, deslocamentos ou mudanças que podemos fazer em uma figura dada, de modo que possamos obter figuras semelhantes às originais. Observe como elas foram usadas ao longo da história:

Perceba que todas as aparições de transformações geométricas ao longo dos anos possuem formas semelhantes entre si. A cerâmica marajoara, por exemplo, exibe padrões reflexivos, ou seja:

Desta forma, podemos ainda definir a transformação geométrica como uma aplicação bi – unívoca entre duas figuras geométricas, no mesmo plano ou em planos diferentes, de modo que, a partir de uma figura geométrica original se forma outra geometricamente igual ou semelhante à primeira.

Obs. O termo biunívoca significa que existe uma correspondência entre as coordenadas (os pontos), da figura original da outra figura que é geometricamente igual a ela. 

Para que possamos estabelecer essa correspondência biunívoca de forma exatas, é necessário que façamos uso do plano cartesiano, pois ele nos permite visualizar, movimentar e operar dentro de suas coordenadas.

Plano cartesiano

Plano Cartesiano é composto de dois eixos: um horizontal (eixo das abscissas ou eixo x) e um vertical (eixo das ordenadas ou eixo y). Nele, podemos representar um ponto utilizando um par ordenado.

Os pontos são sempre do tipo (x; y). Por exemplo, o ponto A representado abaixo, possui como coordenadas (4; 2), ou seja, x = 4 e y = 2.

Figura elaborada pelo autor.

Podemos também representar um polígono no plano cartesiano, associando seus vértices a pares ordenados.

Dessa forma, quando realizamos uma ou mais transformações geométricas em uma figura dada, podem ocorrer duas situações:

• A figura obtida é exatamente igual à figura original;
• A figura mantém o formato do original, mas é maior ou menor.

Quando a forma e as medidas são preservadas, isto é, a figura é igual à figura original, as transformações que realizamos são chamadas de isometrias.

Agora, quando a figura é ampliada ou reduzida, ou seja, quando a forma é mantida, mas as medidas são alteradas, a transformação realizada é chamada de homotetia.

Reflexão no plano cartesiano  

Uma figura pode ser refletida em um plano de dois modos:

1. Em relação a uma reta;
2. Em relação a um ponto.

Na figura a seguir, o triângulo DEF foi obtido a partir do triângulo ABC utilizando a reflexão em relação à reta r indicada. Dizemos que esses dois triângulos são simétricos em relação à reta r, que é o eixo de reflexão ou eixo de simetria, e que o triângulo DEF é a imagem do triângulo ABC. A simetria em relação a uma reta é chamada de simetria axial.