ESTUDO DAS GRANDEZA

Uma Grandeza em matemática é tudo aquilo que pode ser medido e contado. Por exemplo, o tempo, a velocidade, o volume, a quantidade de homens em uma obra etc. O que não pode ser medido e nem contado não é uma grandeza. Exemplo: O amor, a saudade, a imaginação etc. Portanto, nosso estudo trata-se das grandezas mensuráveis (que podem ser medidas ou contadas) e da forma com a qual se relacionam.

As chamadas grandezas fundamentais são aquelas definidas pelo Sistema Internacional de Unidades (SI). A tabela abaixo traz as grandezas fundamentais definidas pelo SI:

Dessa forma podemos estabelecer uma relação entre duas ou mais grandezas.

Chamamos de Razão o quociente entre duas grandezas e de Proporção a igualdade entre duas razões.

Assim, podemos calcular a densidade demográfica da capital fazendo o quociente entre essas duas grandezas:

Observe outros exemplos de cidades goianas:

GRANDEZAS DIRETA E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Chamamos de proporção a igualdade entre duas razões distintas, obtidas pela divisão entre duas grandezas e as grandezas, nesse caso, são ditas proporcionais.

Por exemplo, se um automóvel se locomova a 50 km/h e percorra 100 km. Se esse automóvel dobrar sua velocidade, dentro deste mesmo tempo, o espaço por ele percorrido seria de 200 km.

A razão entre velocidade e espaço percorrido desse automóvel pode ser avaliada em dois momentos distintos e possui resultados iguais: 0,5.

Um corpo em movimento retilíneo e uniforme tem velocidade constante e igual a 20 km/h. Isso     significa dizer que, de acordo com a tabela a seguir, temos:

Note que à medida que o tempo aumenta o espaço aumenta na mesma proporção, ou seja, se o tempo dobra o espaço também dobra, se o tempo triplica o espaço também triplica etc.

Na primeira expressão matemática, o quociente entre o espaço (S) e o tempo (T) é um valor constante igual a     20   o que nos revela uma importante relação entre Grandezas Diretamente Proporcionais (GDP):

Na segunda expressão matemática, a relação entre o espaço (S) e o tempo (T) é do tipo y = k∙x, ou seja:

Por exemplo, imagine que um automóvel percorre 100 km em 1 hora e 30 minutos a uma velocidade média de 50km/h. Se ele aumentar sua velocidade para 75km/h, ele percorreria esse mesmo trajeto em 1 hora.

Observe que é impossível ele aumentar a velocidade e aumentar o tempo, pois quanto mais rápido o automóvel se deslocar no espaço, menos tempo ele gastará. Assim, que a razão entre a velocidade e o tempo são grandezas inversamente proporcionais.

Um corpo em movimento retilíneo e uniforme percorre um espaço de 30 km. Isso significa que, de acordo com a tabela a seguir, temos:

Neste caso, à medida que o tempo aumenta, a velocidade diminui na mesma proporção, ou seja, se o tempo dobra, a velocidade diminui pela metade, se o tempo triplica, a velocidade diminui para um terço, ou ainda, se a velocidade dobra o tempo diminui pela metade etc.

A relação matemática entre a velocidade e o tempo é dada por:

Na segunda expressão matemática, o produto entre a velocidade (V) e o tempo (T) é constante “ k = 30”, um valor constante e positivo. Isso nos revela uma importante relação entre Grandezas Inversamente Proporcionais (GIP):

Observe a receita de bolo que a vovó Maria irá fazer para seus 3 netos. 

Como a receita é suficiente para apenas 1 bolo, e ela deseja preparar 5, qual será a nova quantidade de ingredientes que ela utilizará? Para isso, devemos perceber que as grandezas são diretamente proporcionais, pois, se o número de bolos aumentar, o número de ingrediente cresce na mesma proporção.

Desta forma, as proporções são claramente utilizadas em nosso cotidiano, em forma de receitas, distribuições e manipulações, onde se relacionam duas ou mais grandezas.

Ao realizar uma compra online de um boneco do personagem Thor, sua única informação sobre as dimensões do produto é “Escala 2:10”. Porém você sabe que o ator Chris Hemsworth (que interpreta o Thor) possui 1,93 m de altura, como você sabe o tamanho do boneco?

Para conseguirmos responder a esse tipo de problema, devemos nos lembrar do conceito de escala. 

ESTUDO DAS ESCALAS

A escala numérica é utilizada pra representações de grandes medidas em um pequeno espaço. É baseada na igualdade entre dois quocientes, ou seja, é um outro tipo de proporção.

PROPORCIONALIDADE E REGRA DE TRÊS

A regra de três é um meio de usar a propriedade fundamental das proporções para determinar uma das quatro medidas de duas grandezas, quando se conhece as outras três. O modo de encontrar essa medida não é o mesmo para grandezas diretamente proporcionais e inversamente proporcionais.

Quando duas grandezas são proporcionais, basta aplicar essa propriedade fundamental sobre uma proporção para encontrar à medida que falta.

Um automóvel esteja a 50 km/h e, em determinado período de tempo, percorra 250 km. Quantos quilômetros percorreria se sua velocidade fosse 75 km/h?

Montando a proporção teremos:

Quando as duas grandezas são inversamente proporcionais, deve-se montar a proporção e inverter uma das razões antes de aplicar a propriedade fundamental das proporções.

Um veículo, a 120 km/h, gasta 2 horas em determinado percurso. Qual seria sua velocidade se o tempo gasto nesse percurso fosse de 6 horas?

Aumentando o tempo gasto na viagem, a velocidade do automóvel diminui, portanto, essas grandezas são inversamente proporcionais. Montando a proporção entre elas, teremos:

Antes de aplicar a propriedade fundamental das proporções, é necessário inverter uma das razões.

Observe que cada uma delas está relacionada a uma das grandezas e que ambas são inversamente proporcionais, neste caso devemos inverter uma das grandezas (nesse caso invertemos as horas), para que possam ficar proporcionais e assim, aplicarmos o teorema das proporções.

GRANDEZAS NÃO PROPORCIONAIS

Observe a situação problema abaixo

Nesse caso, podemos observar a relação entre duas  grandezas fazendo a comparação entre elas.   

Repare que no primeiro caso, temos 54 x 3 = 162, ou seja, serão distribuídos 162 livros.

No segundo caso, temos, 27 x 5 = 135, ou seja, serão distribuídos 135 livros.

Aumentando o número de livros doados para cada leitor, a quantidade de leitores beneficiado diminui.

A resposta para essa pergunta é NÃO!

Para afirmamos que existe proporção entre duas razões é necessário haver uma IGUALDADE entre elas.

Assim, é importante sempre fazer uma relação e comparação entre as grandezas para determinar se são diretamente, inversamente ou não – proporcionais.

ATIVIDADES

1. Observe as situações a seguir.

I –   O consumo de combustível de um automóvel em relação a distância percorrida.

II –  O número de trabalhadores e o número de dias para realização de um trabalho.

III – O peso de uma pessoa e sua altura.

IV – Número de máquinas para realizar um trabalho e o tempo de execução desse trabalho.

V –  Tempo gasto de em uma viagem e a distância percorrida.

VI – Velocidade  de um veículo em uma viagem e tempo gasto nessa viagem.

Separe as situações em

2. Nos itens a seguir, marque (C) para correto e (E) para errado.

a) (    ) Dadas duas grandezas diretamente proporcionais, quando uma delas aumenta a outra também aumenta na mesma proporção.

b) (    ) Dadas duas grandezas diretamente proporcionais, quando uma delas diminui a outra aumenta na mesma proporção.

c) (    ) Dadas duas grandezas inversamente proporcionais, quando uma delas aumenta a outra diminui na mesma proporção.

d) (    ) Dadas duas grandezas inversamente proporcionais, quando uma delas diminui a outra também diminui na mesma proporção.

3. Analise cada uma das situações apresentadas a seguir que representam relações entre duas grandezas.

I. Um veículo percorre 16 quilômetros com 2 litros de álcool. Mantendo-se as mesmas condições, quantos quilômetros ele percorrerá com 6 litros de álcool?

II. Um automóvel a uma velocidade de 40 km/h percorre certa distância em 30 minutos. Se este automóvel estiver a uma velocidade de 80 km/h, quanto tempo gastará para percorrer a mesma distância?

III. Cada 100 gramas de pera equivalem a 56 calorias. Se uma pessoa consome 50 gramas de pera por dia estará ingerindo quantas calorias?

Assinale a alternativa que apresenta a classificação correta das relações entre as grandezas.

(A) Diretamente proporcionais: I e II, Inversamente proporcional: III.

(B) Diretamente proporcionais: I e III, Inversamente proporcional: II.

(C) Diretamente proporcional: II, Inversamente proporcionais: I e III.

(D) Diretamente proporcional: III, Inversamente proporcionais: I e II.

4. Um mapa foi feito na escala 1 : 30 000 000 (lê-se “um para trinta milhões”). Essa notação representa a razão de proporcionalidade entre o desenho e o real, ou seja, cada unidade no desenho, é na realidade, 30 milhões de vezes maior. Utilizando uma régua, constatou-se que a distância do Rio de Janeiro a Brasília, neste mapa é aproximadamente 4 cm. Assim, qual a distância real entre Rio de Janeiro e Brasília, nesta escala ?

5. Observe alguns dados referente a Rússia

Calcule a densidade demográfica desse país e discuta como é feita a distribuição populacional dele, tente pensar se é distribuída regularmente ou não.

6. Alessandro, Renato e Patrícia investiram respectivamente os seguintes capitais na abertura de uma empresa: R$ 30 000,00, R$ 20 000,00 e R$ 25 000,00. Ao final do primeiro ano de sociedade a empresa teve um lucro de R$ 150 000,00. Em relação ao ganho correspondente a cada sócio, pose-se concluir que

(A) Patrícia lucrou 60 mil reais.

(B) O lucro de Renato foi de 10 mil reais a menos que Patrícia.

(C) Alessandro lucrou 15 mil reais a mais que Renato.

(D) A diferença entre os lucros de Alessandro e Patrícia foi de 20 mil reais.

7. Três irmãos entraram em uma sociedade e resolveram investir capitais proporcionais. O primeiro irmão investiu um capital proporcional ao número 2, o segundo irmão investiu um capital proporcional ao número 3 e o terceiro irmão investiu um capital proporcional ao número 5. Se, no final de 1 mês, a sociedade apresentar R$ 500 000,00 qual será o lucro daquele que investiu menos?

8. Observe os segmentos de reta proporcionais abaixo.

Qual o valor dos segmentos AB e CD?

9. Observe os retângulos abaixo.

Sabendo que as áreas desses retângulos seguem uma proporção  , quais são as áreas dos retângulos ABCD e IJKL?

10. Na bula de um remédio para crianças, a dosagem recebida é diretamente proporcional ao peso da criança. Sabendo que são recomendadas 5  gotas do medicamento a cada 3 kg, então, qual a dosagem oferecida para uma criança que tem 60 kg?