AULA 16/2022 – Ângulos - 29/08/2022
ÂNGULOS EM DOBRADURAS
Imagine as seguintes dobraduras em uma folha de papel A4
Note que ao dobrar a folha, os ângulos vão se modificando proporcionalmente.
Isso acontece devido a várias demonstrações geométricas que aconteceram ao longo do tempo.
Utilizando o exemplo anterior, sabemos que um retângulo (folha de papel A4), é formado por dois pares de retas paralelas e 4 ângulos retos.
Observe que na dobradura ao meio, obtermos uma reta t que é transversal e perpendicular às paralelas r e s e formam ângulos congruentes com elas.
Se essa reta transversal não for perpendicular, ou seja, se os ângulos formados por elas não forem de 90º, teremos pares de ângulos agudos e obtusos congruentes.
Isso é denominado Método das Perpendiculares! Na geometria, esse método nos diz que se duas retas paralelas são “cortadas” por uma transversal, seus Ângulos alternos são congruentes.
Vamos descobrir o que são ângulos alternos ?
ÂNGULOS FORMADOS POR RETAS PARALELAS INTERSECTADAS POR UMA TRANSVERSAL.
Observe o que acontece quando a reta t que é transversal, mas não perpendicular intersecta as retas r e s
Podemos observar que foram formados 8 ângulos entre as retas.
Isso acontece, pois, esses ângulos são opostos pelo vértice. Os ângulos opostos pelo vértice são sempre congruentes.
Agora, repare que :
Imagem criada pelo autor
Isso acontece, pois, esses ângulos são colaterais internos. Os ângulos colaterais internos são ângulos suplementares, ou seja, a soma dos dois é igual a 180°.
Agora, repare que :
Imagem criada pelo autor
Isso acontece, pois, esses ângulos são colaterais externos. Os ângulos colaterais externos são suplementares, ou seja, a soma dos dois é igual a 180°.
É válido destacar que os ângulos alternos externos e internos são congruentes.
Dessa forma, podemos alguns pares de ângulos correspondentes. Eles apresentam a mesma medida.
Exemplos 1. Determine o valor real de x, sabendo que r//s.
Note que os ângulos 30º e x + 11º são alternos externos portanto, 30º = x + 11º resolvendo a equação temos:
x + 11º = 30º
x = 30º – 11º
x = 19º
Exemplo 2. Determine o valor real de x, sabendo que r//s.
Perceba que os ângulos 3x + 15º e x + 25º são colaterais internos portanto, 3x + 15º + x + 25º = 180º resolvendo a equação temos:
4x + 40º = 180º
4x = 180º – 40º
4x = 140º
x = 35º
CONSTRUÇÃO DO TRIÂNGULO UTILIZANDO RÉGUA E COMPASSO
Consideremos o triângulo com lados medindo 4cm, 6cm e 8cm podemos utilizar a régua e o compasso para auxiliar na construção desse triângulo. Basta seguirmos os seguintes passos:
Passo 1: Desenhar um segmento de reta AB de 8cm.
Passo 2: Faça uma abertura de 6 cm no seu compasso e trace uma circunferência com centro em A e raio igual a 6cm.
Passo 3: Faça uma abertura de 4 cm em seu compasso e trace uma circunferência com cetro em B agora.
Passo 4: Note que as circunferências se interceptaram em dois pontos. Marque o ponto C em umas dessas intersecção.
Passo 5: Trace o segmento BC e o segmento AC.
Em uma disposição diferente, você também pode seguir o fluxograma abaixo.
CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DE UM TRIÂNGULO
Será que é possível construir triângulos com quaisquer medidas de lado? Vamos tentar construir um triângulo com os segmentos de reta abaixo.
Somos Educação/Arquivo da editora.
Seguindo o passo a passo da construção do triângulo com esses segmentos, utilizando régua e compasso, obtemos a seguinte figura.
Somos Educação/Arquivo da editora.
Conforme a imagem, os arcos não se intersectam, portanto não é possível construir um triângulo com esses segmentos.
Para saber se é possível construir um triângulo com determinadas medidas de segmento e sem precisar de régua e compasso, aplicamos a condição de existência de um triângulo, que diz:
Exemplo 3: Dados os segmentos AB = 16 cm, CD = 20 cm e EF = 30 cm, é possível usá-los para construir um triângulo, pois as somas abaixo são verdadeiras:
16 + 20 = 36 > 30
16 + 30 = 46 > 20
30 + 20 = 50 > 16″
Fonte: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-a-condicao-existencia-um-triangulo.htm. acesso em 18 de jun. de 2022.
RIGIDEZ DO TRIÂNGULO
Leia a história abaixo:
Os três porquinhos e o lobo voador.
Era uma vez três irmãos porquinhos que viviam com a mãe. Os irmãos gostavam muito de formas geométricas, e viviam fazendo planos para construir suas casas de maneiras diferentes.
Um belo dia, a mãe, ciente da vontade dos filhos, orientou que os porquinhos saíssem de casa para construírem suas próprias vidas. Ela fez um farnel para cada um deles e forneceu algumas economias para que comprassem material para construírem as casas.
Os porquinhos sabiam que onde viviam havia um lobo mal que conseguia voar e gostava de comer suínos, mas não se intimidaram, e saíram do aconchego de sua mãe para construírem suas próprias casas.
O primeiro porquinho, construiu sua casa e resolveu fazer o telhado com formatos retangulares.
O segundo porquinho, construiu sua casa e fez o telhado em formatos pentagonais, apesar dos avisos dos irmãos de que aquele telhado era frágil contra o sopro do lobo mal.
O terceiro porquinho, por sua vez, precavido e paciente, resolveu construir sua casa com telhado em formas triangulares, pois ele sabia que os triângulos eram totalmente resistentes ao sopro do lobo voador.
Algum tempo depois, o lobo surgiu voando sobre a floresta. Percebendo a presença dos porquinhos foi logo voar sobre a casa pentagonal, soprou sobre o telhado, e ele, como era feito de polígonos frágeis, logo desabou. O segundo porquinho, em pânico, fugiu para a casa ao lado, a casa do irmão que havia trabalhado com retângulos.
O lobo dirigiu-se então para a casa de telhados retangulares, os porquinhos acharam que os retângulos eram polígonos rígidos, mas estavam enganados. O lobo mal voador soprou com mais força, e o telhado de retângulos, de fato, se deformou com a rajada de vento. Aproveitando a falta de fôlego do lobo mal, os porquinhos correram para a casa do irmão mais velho que havia feito o seu telhado com triângulos.
O irmão mais velho os abrigou e garantiu que tudo correria bem. Quando o lobo soprou novamente, o telhado, sequer mexeu um milímetro.
No dia seguinte, o lobo voltou a atacar a casa que restava, dessa vez tentou entrar pelos vértices do telhado. Como o porquinho mais velho era muito precavido, reforçou os vértices dos triângulos. O lobo, ao ficar sem ar de tanto soprar, fugiu desesperado e os três porquinhos continuaram sãos e salvos.
Conto infantil “Os três porquinhos”, adaptado pelo autor
Isso aconteceu pois o triângulo, entre todos os polígonos, apresenta uma rigidez geométrica que os outros não têm. Uma vez construído, é impossível modificar a abertura de seus ângulos e construir outro triângulo. Essa propriedade tem bastante valor e é muito utilizada na carpintaria, na engenharia e na arquitetura – em especial, na construção da estrutura dos telhados, conhecida como tesoura ou treliça, feita em madeira e composta de diversos triângulos.
Tais triângulos impedem que um ventinho qualquer abale a estrutura, podendo levar o telhado chão abaixo, o que certamente aconteceria se fosse constituída de quadriláteros, ou pentágonos, pois quanto maior o número de vértices, mais “maleável” é o polígono.
Armários, portões, andaimes e prateleiras que também possuem algum triângulo em sua estrutura têm sempre o mesmo intuito: aproveitar sua rigidez para evitar danos e deformações.
Observe algumas deformações que os retângulos e pentágonos podem ter e que não ocorrem com os triângulos:
