Transformações geométricas

Transformações Geométricas são “movimentos”, deslocamentos ou mudanças que podemos fazer em uma figura dada, de modo que possamos obter figuras semelhantes às originais. Observe como elas foram usadas ao longo da história:

Perceba que todas as aparições de transformações geométricas ao longo dos anos possuem formas semelhantes entre si. A cerâmica marajoara, por exemplo, exibe padrões reflexivos, ou seja:

Se dividirmos a cerâmica ao meio, as partes espelharão formas semelhantes. Essa simetria acontece em diversos casos em nosso cotidiano. 

Desta forma, podemos ainda definir a transformação geométrica como uma aplicação bi – unívoca entre duas figuras geométricas, no mesmo plano ou em planos diferentes, de modo que, a partir de uma figura geométrica original se forma outra geometricamente igual ou semelhante à primeira.

Obs. O termo biunívoca significa que existe uma correspondência entre as coordenadas (os pontos), da figura original da outra figura que é geometricamente igual a ela. 

Para que possamos estabelecer essa correspondência biunívoca de forma exatas, é necessário que façamos uso do plano cartesiano, pois ele nos permite visualizar, movimentar e operar dentro de suas coordenadas.

Plano cartesiano

Plano Cartesiano é composto de dois eixos: um horizontal (eixo das abscissas ou eixo x) e um vertical (eixo das ordenadas ou eixo y). Nele, podemos representar um ponto utilizando um par ordenado.

Os pontos são sempre do tipo (x; y). Por exemplo, o ponto A representado abaixo, possui como coordenadas       (4; 2), ou seja, x = 4 e y = 2.

Podemos também representar um polígono no plano cartesiano, associando seus vértices a pares ordenados.

Representação dos polígono de vértices

A(1, 2), B(2, 4), C(4, 2) e D(3, 1)

Representação dos polígono de vértices         

A(3 ,6), B(1, 3), C(6, 1).

Transformações geométricas no plano cartesiano

Considere o losango ABCD, em que as coordenadas de seus vértices são A(2, 3), B(5, 3), C(4, 1) e D(1, 1). Observe que, se multiplicarmos as coordenadas dos vértices desse polígono por 2, obteremos assim os pontos A’(4, 6), B’(10, 6), C’(8, 2) e D’(2, 2), que são as coordenadas dos vértices do losango A’B’C’D’.

Note que o losango A’B’C’D’ representa a ampliação do losango ABCD.

Dessa forma, quando realizamos uma ou mais transformações geométricas em uma figura dada, podem ocorrer duas situações:

• A figura obtida é exatamente igual à figura original;
• A figura mantém o formato do original, mas é maior ou menor.

Quando a forma e as medidas são preservadas, isto é, a figura é igual à figura original, as transformações que realizamos são chamadas de isometrias.

Agora, quando a figura é ampliada ou reduzida, ou seja, quando a forma é mantida, mas as medidas são alteradas, a transformação realizada é chamada de homotetia.

Translação no plano cartesiano  

A translação é a isometria pela qual a figura é deslocada em determinada direção e sentido, ou seja, ela mantém suas medidas e altera suas coordenadas.

Na figura a seguir, o triângulo os “peixes” são congruente entre si, pois apenas suas coordenadas foram alteradas, suas áreas e medidas permanecem as mesmas.

Reflexão no plano cartesiano  

Uma figura pode ser refletida em um plano de dois modos:

1. Em relação a uma reta;
2. Em relação a um ponto.

Na figura a seguir, o triângulo DEF foi obtido a partir do triângulo ABC utilizando a reflexão em relação à reta r indicada. Dizemos que esses dois triângulos são simétricos em relação à reta r, que é o eixo de reflexão ou eixo de simetria, e que o triângulo DEF é a imagem do triângulo ABC. A simetria em relação a uma reta é chamada de simetria axial.

Na figura a seguir, o triângulo DEF foi obtido do triângulo ABC a partir da reflexão em relação ao ponto P indicado. Dizemos que esses dois triângulos são simétricos em relação ao ponto P. A simetria em relação a um ponto é chamada de simetria central.

Rotação no plano cartesiano  

A rotação é a isometria pela qual uma nova figura é obtida a partir de um giro da figura original ao redor de um único ponto fixo. Esse ponto é chamado de centro de rotação.

Em uma rotação, o giro pode ser feito no sentido horário ou no sentido anti-horário, segundo certo ângulo.

Na figura a seguir, o triângulo CDE foi obtido do triângulo ABC a partir da rotação em relação ao ponto C indicado. A rotação foi de aproximadamente 37° no sentido horário. A rotação pode ser também no sentido anti-horário e em torno de um ponto que não pertença a figura.

Veja outros exemplos:

Se prestarmos atenção poderemos perceber que as simetrias estão ao nosso redor, seja na natureza ou naquilo que foi construído pelo homem. Observe as imagens a seguir, e com seu professor e identifique as simetrias:

Atividades

1.  Marque no plano cartesiano a seguir, os pontos: A (3, 1), B (–1, 0), C (0, –3) e D (–2, –2). Qual polígono é formado se ligarmos os pontos?

2. Quantos eixos de simetria possui o retângulo a seguir?

3. Considere o triângulo ABC representado a seguir.

a) Quais são as coordenadas dos vértices desse triângulo?

b) Ao multiplicar as coordenadas dos vértices desse triângulo por 2, a figura obtida corresponderá a uma ampliação ou uma redução?

c) Quais as coordenadas dos vértices da figura obtida (triângulo) ao realizar o processo da alternativa anterior?  

d) Represente essa figura em um plano cartesiano.

4.  O triângulo a seguir representa a ampliação do triângulo DEF.

Quais são as possíveis coordenadas dos vértices do triângulo original?

5. Observe a imagem e responda.

Com qual tipo de isometria foi obtido o pentágono FGHIJ?

Figura elaborada pelo autor.

6.Observe o plano cartesiano a seguir, os polígonos nele representados e responda.

a) Que tipo de isometria há entre os polígonos representados no plano cartesiano acima?

b) Quais são as coordenadas dos vértices dos dois polígonos representados no plano cartesiano acima.

7. Desenhe um polígono de vértices DEF simétrico ao triângulo ABC, em relação à origem do plano cartesiano, e escreva as coordenadas de cada ponto.

8. Represente no plano cartesiano o polígono que podemos obter ao multiplicar por – 1 as coordenadas de cada vértice do polígono ABCD.

9. Escreva o ângulo e o sentido da rotação realizada no triângulo ABC em torno da origem do plano ponto O, para se determinar o triângulo ADE:

10. M. C. Escher (1898-1972) foi um artista gráfico holandês, conhecido por seus trabalhos em xilogravuras e litogravuras que representam obras fantásticas, incomuns, com várias perspectivas, geradoras de ilusão de ótica no observador. Foi considerado um artista matemático, sobretudo geométrico. Faça uma análise de uma parte de suas obras mais famosas, nomeada Dia e Noite de 1938, e responda:

a) Quanto à forma e tamanho, o que podemos observar sobre os pássaros claros e escuros?

b) Qual transformação geométrica identificamos na obra?

Fonte: https://www.ime.unicamp.br/ Acesso em 01/09/2021