CONSTRUÇÃO DE FIGURAS PLANAS SEMELHANTES

Observe as imagens a seguir:

Observe que as fotografias, são semelhantes, porém foram ampliadas e reduzidas partindo da Foto Original.

Observe outros exemplos:

AMPLIAÇÃO E REDUÇÃO NA MALHA QUADRICULADA

Para ampliação ou redução de uma imagem é necessário conservar todas as aberturas dos ângulos e as medidas são multiplicadas (no caso de ampliação) ou divididas (no caso da redução) por um mesmo número maior que 1.

Para ampliar ou reduzir figuras planas, podemos utilizar a malha quadriculada.

Exemplo 1.  

Com base na malha quadriculada, nas medidas das aberturas dos ângulos das três figuras e nas medidas de comprimento dos lados delas, podemos afirmar, em relação à figura A, que a figura B é uma ampliação e que a figura C é uma redução dela.

Vamos analisar um dos exemplos anteriores:

Exemplo 2. 

Desta forma, podemos afirmar que além dos ângulos correspondentes semelhantes e lados correspondentes semelhantes proporcionais, também existe uma relação de proporção entre as áreas das figuras planas semelhantes.

Na relação expressa na imagem, percebemos que as áreas também são reduzidas (÷2) ou ampliadas (2x) de acordo com a imagem original, pois:

• A figura 1 tem área igual a 4 cm² e é uma redução da figura 2;
• A figura 2 tem área igual a 8 cm²;
• A figura 3 tem área igual a 16 cm² é uma ampliação da figura 2. 

NO PLANO CARTESIANO

Além da malha quadriculada, podemos ampliar ou reduzir uma figura plana utilizando o plano cartesiano. As mesmas propriedades da malha quadriculada são válidas no plano. Observe.

Exemplo 3.

Observe que os pares ordenados dos quatro vértices desse trapézio ABCD são:

A (2, 0),                     B (4, 4),                         C (8, 4)           e         D (10, 0).

Para fazermos uma redução pela metade, vamos dividir as medidas de AB e CD por 2.

AB = 6 à A’B’ = 3

CD = 2 à B’C’= 1

Como a altura desse trapézio é 4, ao realizarmos a redução fazemos 4 ÷ 2 = 2.

Logo teremos:

Traçando esses pontos no plano cartesiano, obtemos o novo trapézio A’B’C’D’.

Repare quepodemos afirmar que esses trapézios são semelhantes, pois além das medidas serem divididas por 2, as coordenadas também foram divididas por 2.

A (0, 0),                     B (6, 0),                        C (2, 4)           e        D (4, 4).

A’ (0, 0),                    B’ (3, 0),                       C’ (1, 2)          e        D’ (2, 2).

Existem casos em que as figuras são semelhantes e as coordenadas não apresentam visivelmente essas características. Observe o próximo exemplo.

Exemplo 4.

Foram feitas ampliações e reduções dos quadrados a seguir.

Discuta com seus colegas:

• A partir do primeiro quadrado temos uma ampliação ou redução em relação aos demais?  
• A partir do quarto quadrado, temos uma redução ou uma ampliação em relação aos demais?
• Como foram feitas essas ampliações e reduções?
• As coordenadas cartesianas mostram essas reduções e ampliações ou temos que olhar para a medida dos lados ou a área ocupada?  

ATIVIDADES

1. No plano cartesiano abaixo construa um quadrado com lado 2,5 cm e um retângulo com lados 2,5 cm e 5 cm.

2.Na malha quadriculada abaixo estão duas construções. O que elas possuem em comum?

3.Na malha quadriculada está contido um peixinho.  Desenhe um novo peixinho com as mesmas medidas ocupando um lugar diferente na malha.

4. Observe os segmentos de reta no plano cartesiano abaixo e responda o que se pede.

a) Se tomarmos o segmento A₁B₁ como o original, o que podemos afirmar em relação ao segmento AB e o segmento A₂B₂?

b) Se tomarmos o segmento C₂D₂ como o original, o que podemos afirmar em relação ao segmento CD e o segmento C₁D₁?

c) Se tomarmos o segmento GHcomo o original, o que podemos afirmar em relação ao segmento G₁H₁ e o segmento G₂H₂?

5. Qual das figuras a seguir é uma ampliação da figura O?

6. Construa uma redução da figura a seguir na mesma malha quadriculada.

7. Observe as figuras a seguir.

Determine:

8. Verifique se as figuras de cada item a seguir são semelhantes. Em caso afirmativo, indique se as medidas de comprimento dos lados foram multiplicadas ou divididas da primeira para a segunda figura. Verifique também por qual número elas foram divididas ou multiplicadas.

9. Observe o triângulo no plano cartesiano a seguir e, então, responda o que se pede.

a)  Como podemos classificar esse triângulo?

b)  Determine os pares ordenados de seus vértices.

c) Na malha quadriculada a seguir, faça a ampliação desse polígono, de modo que a medida de cada um de seus lados seja o dobro da medida dos lados correspondentes do triângulo original.

d) Construa uma redução desse polígono no plano cartesiano a seguir de modo que a medida de cada um de seus lados seja a metade da medida dos lados correspondentes do quadrilátero original.

10. O polígono ABCDEF classificado como hexágono ocupa uma área de 4u. Faça uma ampliação desse polígono de modo que a área do novo polígono A’B’C’D’E’F’ tenha o quíntuplo da área de ABCDEF.