O CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS

Os números racionais são aqueles que podem ser escritos na forma de fração, em que o numerador é um número inteiro e o denominador é um número inteiro não nulo (diferente de zero). Observe como podemos descrever esse conjunto utilizando a linguagem matemática

Diferentes escritas de um número racional:

NÚMEROS DECIMAIS

Os números decimais são números racionais (Q) não inteiros expressos por vírgulas, que possuem casas decimais e podem ser positivos ou negativos. Analisando o número 5,1561 temos:
5 → Parte inteira
1 → Décimos
5 → Centésimos
6 → Milésimos
1 → Décimo de Milésimos

Veja que os algarismos 5 e 1 aparecem duas vezes no número, entretanto, eles representam quantidades diferentes.
O 5 (parte inteira) indica 5 unidades, enquanto os números que estão à direita da vírgula representam frações de um inteiro.
A leitura do número deve ser feita da seguinte maneira: Cinco inteiros, mil quinhentos e sessenta e um décimos de milésimos.

Número decimal exato e dízima periódica

Dízima periódica

Como as dízimas periódicas pertencem ao conjunto dos números racionais, elas podem ser representadas como uma fração que denominamos fração geratriz. Lembre-se que, nos casos em que temos dízimas exatas, podemos obtê-las a partir das frações em que o denominador possui base 10

DÍZIMA PERIÓDICA E FRAÇÃO GERATRIZ.

O número 0,333… é chamado de decimal periódico não exato (dízima periódica), e sendo um número racional, podemos associá-lo a uma fração, denominada de fração geratriz. Logo, toda dízima periódica, deve possuir uma forma fracionária.

Como temos dois tipos de dizimas periódicas, encontramos as respectivas frações geratriz, de duas maneiras distintas:

MÉTODO PRÁTICO

Devemos colocar:
No numerador, um número formado pelos algarismos inteiros e o período, menos os algarismos inteiros, sem a vírgula.
No denominador, um número formado apenas por algarismos iguais a nove. A quantidade de “noves” dependerá de quantos algarismos formam o período da dízima.
Exemplo. Determine a fração geratriz do número 6,454545…

Dízima periódica composta:

1º passo: Igualar a dízima periódica a uma incógnita, de forma a escrever uma equação do 1º grau com uma incógnita.
2º passo: Multiplicar ambos os lados da equação por um múltiplo de 10, observando a quantidade de casas do antiperíodo. Depois repetir o mesmo processo da dízima periódica simples.
3º passo: Subtrair da última equação encontrada, a penúltima equação.
4º passo: Resolver a equação obtida no 3º passo.

MÉTODO PRÁTICO

ATIVIDADES

1. Escreva qual é o número decimal representa cada uma das frações a seguir

2. Dê dois exemplos de dizima periódica simples e composta

3. Expresse na forma de fração os seguintes números racionais
a) 0,777….
b) 0,888…
c) 1,3232….
d) 1,444….
e) 0,033…
f) 2,35111…

4. Analise os números a seguir:

5. Em relação às dízimas periódicas, julgue as afirmativas a seguir:
I. Toda dízima periódica é um número racional.
II. Tantos as dízimas periódicas, quanto as não periódicas possuem fração geratriz.
III. Chamamos de fração geratriz a representação fracionária da dízima periódica.
Assinale a alternativa correta:

6. Ainda em relação ao que estudamos sobre dízimas periódicas, julgue as afirmativas a seguir:

7. Ao realizar uma divisão encontrei como resultado o número 2,3050505 … . Com base nesse resultado, julgue as afirmativas a seguir:
I. Esse resultado é um número racional.
II. Esse resultado é uma dízima periódica composta.
III. O resultado não pode ser representado como uma fração.
Marque a alternativa correta:

8. Complete a tabela com as representações fracionárias, decimais dos seguintes números racionais

9. Analise os números na tabela a seguir e classifique-os em dízimas periódicas simples ou dízimas periódicas compostas

10. Obtenha as dízimas periódicas de cada uma das frações geratriz a seguir. Classifique-as em dízima periódica simples ou dízima periódica composta e escreva o período e o antiperíodo (quando existir)

17. Eloisa dividiu dois números inteiros positivos em sua calculadora e obteve como resultado a dízima periódica 1,929292. Se a divisão tivesse sido feita na ordem inversa, ou seja, trocando o dividendo (numerador) com o divisor (denominador), qual teria sido o resultado obtido por Eloísa?

18. João dividiu dois números inteiros positivos e obteve como resultado a dízima periódica 0,1777… Se ao invés de dividir ele tivesse multiplicado os dois números, qual teria sido o resultado obtido por João?