FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS

Fatoração é um processo utilizado na matemática que consiste em representar um número ou uma expressão como produto de fatores.
Ao escrever um polinômio como a multiplicação de outros polinômios, frequentemente conseguimos simplificar a expressão. Veja a seguir o cálculo do valor numérico de uma expressão algébrica:

Fator Comum em Evidência
Usamos esse tipo de fatoração quando existe um fator que se repete em todos os termos do polinômio. Esse fator, que pode conter número e letras, será colocado em evidência (na frente de parênteses). Dentro dos parênteses ficará o resultado da divisão de cada termo do polinômio pelo fator comum.
Na prática, vamos fazer os seguintes passos:
⮚ Identificar se existe algum número que divide todos os coeficientes do polinômio e letras que se repetem em todos os termos.
⮚ Colocar os fatores comuns (número e letras) na frente dos parênteses (em evidência).
⮚ Colocar dentro dos parênteses o resultado da divisão de cada fator do polinômio pelo fator que está em evidência. No caso das letras, usamos a regra da divisão de potências de mesma base.
Exemplo 1:

15𝑥 + 10𝑦 − 20𝑧

Primeiro, identificamos que o número 5 divide todos os coeficientes e que não existe nenhuma letra que se repete.
Colocamos o número 5 na frente dos parênteses e dividimos todos os termos pelo 5 (fator comum), colocando esse quociente dentro dos parênteses:

15𝑥 + 10𝑦 − 20𝑧 = 5 ∙ (3𝑥 + 2𝑦 − 4𝑧).

Exemplo 2:

Como 2, 3 e 5 não possuem um divisor comum diferente de 1, não iremos colocar nenhum número na frente dos parênteses, ou seja, não temos um número inteiro como fator comum. A variável 𝑎 se repete em todos os termos. O fator comum será o 𝑎2, que é o fator com menor expoente na expressão.

Agrupamento
No polinômio que não exista um fator que se repita em todos os termos, podemos usar a fatoração por agrupamento.
Para isso, devemos identificar os termos que podem ser agrupados por fatores comuns.
Nesse tipo de fatoração, colocamos os fatores comuns dos agrupamentos em evidência.
Exemplo 3:

𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦

Os termos 𝑎𝑥 e 𝑏𝑥 tem como fator comum o 𝑥. Já os termos 𝑎𝑦 e 𝑏𝑦 possuem como fator comum o y.
Colocando esses fatores em evidência, teremos

𝑥 ∙ (𝑎 + 𝑏) + 𝑦 ∙ (𝑎 + 𝑏)

Note que o (𝑎 + 𝑏) agora também é um fator comum, pois se repete nos dois termos.
Colocando (𝑎 + 𝑏) em evidência, encontramos a forma fatorada do polinômio:

(𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑥 + 𝑦)

Exemplo 4:

Para saber se realmente um trinômio é quadrado perfeito, fazemos o seguinte:
⮚ Calcular a raiz quadrada do primeiro e do último termo, se forem quadrados perfeitos, ou seja, se admitirem raiz Exemplo 5:quadrada. (Pode acontecer de os termos não estarem nessa ordem)
⮚ Multiplicar as raízes encontradas por 2.
⮚ Comparar o valor encontrado com o 2º termo (o que sobrou). Se forem iguais, é um quadrado perfeito.

Exemplo 5:

Exemplo 6:

Resolvendo uma equação do 2º grau através da fatoração

Diferença de Dois Quadrados

Para fatorar, devemos calcular a raiz quadrada dos dois termos. Depois, escrever o produto da soma dos valores encontrados pela diferença desses valores

ATIVIDADES

1. Fatore, colocando os fatores comuns em evidência

2. Fatore, por agrupamento:

3. Fatore, se possível, os seguintes trinômios quadrados perfeitos

4. Fatore cada diferença de quadrados a seguir:

9. Elevei um número positivo ao quadrado, subtraí do resultado o mesmo número e o que restou dividi ainda pelo mesmo número. O resultado que achei foi igual
A) ao próprio número.
B) ao dobro do número.
C) ao antecessor do número.
D) ao sucessor do número.

Obtenha a expressão do perímetro da figura abaixo e fatore caso seja necessário.

Fonte: https://exercicios.brasilescola.uol.com.br/ Acesso em 03 de out. de 2021.

13. Maria e Ana multiplicaram suas idades e encontraram como resultado 378. Ana é 3 anos mais nova que Maria.
Quantos anos Ana e Maria possuem respectivamente?

14. Lucas decidiu fazer um cercado para acomodar suas criações de porcos. Sabendo-se que ele terá que utilizar uma tela e que o cercado possui o formato de um retângulo cuja dimensões (em metros) são as raízes da equação 2x² – 70x+600 = 0, qual a quantidade mínima de tela que Lucas vai gastar para fazer esse cercado?