GRANDEZAS

Definimos por grandeza tudo aquilo que pode ser contado e medido, como o tempo, a velocidade, comprimento, preço, idade, temperatura entre outros. As grandezas são classificadas em: diretamente proporcionais e inversamente proporcionais

RAZÃO

A razão é uma comparação entre duas grandezas. Geralmente, essa comparação é feita através de uma fração.
Veja alguns exemplos de razões de nosso cotidiano:
* Velocidade (física): Vemos a razão constantemente ao andarmos a pé ou em algum meio de locomoção, pois existe uma razão entre a distância que percorremos e o tempo que levamos para percorrê-la, chamamos essa razão de velocidade. A velocidade é a grandeza utilizada para determinar a fusão entre o caminho percorrido e o intervalo de tempo necessário para percorrê-lo.
Exemplo 1: Um automóvel percorre 190 quilômetros em um intervalo de 2 horas. Sua velocidade (𝑣) pode ser representada da seguinte forma:

*Densidade demográfica (geografia): Densidade demográfica é à distribuição da população em uma determinada área. Para calcularmos a densidade demográfica, é preciso obter as informações sobre o número total de habitantes e também qual a extensão da área, o cálculo é o resultado da divisão entre o número total de habitantes pela área.

Exemplo 2: Observe os dados apresentados abaixo e responda: Qual densidade demográfica é maior, a do estado de São Paulo, ou da região Centro-Oeste?

Apesar de a Região Centro-Oeste ter uma maior extensão territorial, ela apresentar menor densidade demográfica que o estado de São Paulo.

Exemplo 3: Observe o mapa abaixo feito na escala de 1 : 25 000 000. Qual é a distância de La Coruña e Palma?

PROPORÇÃO

A proporção consiste na igualdade entre duas ou mais razões, que são a divisão entre números na qual devemos obedecer a ordem em que eles são colocados. A definição de proporção é

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

São aquelas grandezas onde a variação de uma provoca a variação da outra numa mesma razão.
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando existe um aumento na medida da primeira e gera um aumento na medida da segunda, ou quando uma diminuição da medida da primeira gera uma diminuição da medida da segunda.
São exemplos de grandezas diretamente proporcionais:

Exemplo 8: Um automóvel percorre uma distância de 240 quilômetros movendo-se a 60 km/h. Se esse automóvel estiver a 120 km/h, ele conseguirá percorrer 480 km no mesmo período. (Considere que neste exemplo, o tempo gasto é constante).

Assim, o automóvel percorreria 316 quilômetros andando a uma velocidade constante de 79km/h.
Podemos dizer, portanto, que as grandezas velocidade e distância são proporcionais.
Neste exemplo, a relação entre as duas grandezas pode ser representada através de uma sentença matemática.

Onde a variável 𝒗 representa a velocidade e a variável 𝒅 representa a distância percorrida.

GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Uma grandeza é inversamente proporcional quando operações inversas são utilizadas nas grandezas.
Duas grandezas são chamadas de inversamente proporcionais quando um aumento na medida de uma delas faz com que a medida da outra seja reduzida na mesma proporção.
São exemplos de grandezas diretamente proporcionais:
* Velocidade e tempo;

* Quantidade e tempo.

Exemplo 9: Um automóvel move-se a 60 km/h e, consegue percorrer 240 km em 4 horas. Se esse automóvel estiver a 120 km/h, ele conseguirá percorrer os mesmos 240 km em duas horas. (Considere que neste exemplo, a distância percorrida é constante). Observe a tabela:

Note que foram observadas várias situações diferentes para as grandezas velocidade e tempo. Quanto maior é a velocidade, menor será o tempo dessa viagem.
Veja também que se pegarmos a razão entre dois valores da primeira grandeza e o inverso da razão de dois valores da segunda grandeza, a igualdade será verdadeira

* Propriedades Da Proporção
O estudo da proporção é divido em duas propriedades: Propriedade fundamental das proporções e propriedade da soma dos termos em uma proporção.

1. Propriedade fundamental da proporção
Toda proporção possui quatro termos: os meios e os extremos

Os números 4, 12, 5 e 15 são os termos dessa proporção sendo que 4 e 15 são os termos dos extremos e 12 e 5 são os termos dos meios.
A propriedade fundamental da proporção diz que

“O produto dos meios é igual ao produto dos extremos”

Portanto, se pegarmos a proporção acima e aplicarmos essa propriedade iremos obter o seguinte resultado:

– Produto dos termos dos meios: 4 ∙ 15 = 60

– Produto dos termos dos extremos: 12 ∙ 5 = 60
Assim, verificamos que a propriedade é verdadeira

2. Propriedades da soma dos termos em uma proporção

Qualquer que seja a proporção, a soma ou a diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro, ou para o segundo termo, assim como a soma ou a diferença dos dois últimos termos está para o terceiro, ou para o quarto termo.
Então temos, por exemplo:

Como aplicar as propriedades na resolução de problemas?
Uma proporção é dada pela igualdade entre duas razões e o processo de resolução consiste na seguinte situação: “o produto dos extremos é igual ao produto dos meios” ou utilizando a eventual multiplicação cruzada. Nas situações envolvendo regra de três simples ou composta, o principal método de resolução é através da utilização dos fundamentos e propriedades das proporções. Observe:
Exemplo 10: Para cada 2 automóveis que vende, Carlos ganha R$ 200,00 de comissão. Quanto ele recebeu de comissão no mês que vendeu 15 automóveis?

Importante: são grandezas diretamente proporcionais.

Exemplo 11: Durante as eleições, uma gráfica recebeu um pedido muito grande para realizar a produção de material de campanha. Estimou-se que as 3 máquinas levariam 24 horas para realizar todo o serviço. Supondo que uma dessas máquinas estrague antes de iniciar o serviço, qual será o tempo necessário para atender essa demanda?
Importante: são grandezas inversamente proporcionais

GRANDEZAS NÃO PROPORCIONAIS
Observe a situação problema abaixo:

Nesse caso, podemos observar a relação entre duas grandezas fazendo a comparação entre elas.
Repare que no primeiro caso, temos 54 · 3 = 162, ou seja, serão distribuídos 162 livros.
No segundo caso, temos, 27 · 5 = 135, ou seja, serão distribuídos 135 livros

Aumentando o número de livros doados para cada leitor, a quantidade de leitores beneficiados diminui.

* Podemos afirmar que as razões entre essas grandezas são inversamente proporcionais por esse motivo?
A resposta para essa pergunta é NÃO!
Para afirmamos que existe proporção entre duas razões é necessário haver uma IGUALDADE entre elas.
É importante sempre fazer uma relação e comparação entre as grandezas para determinar se são diretamente, inversamente ou não – proporcionais.

É importante sempre fazer uma relação e comparação entre as grandezas para determinar se são diretamente, inversamente ou não – proporcionais

ATIVIDADES

1. Levo duas horas para percorrer uma distância de 150km. Mantendo a velocidade, quanto tempo levarei para percorrer 540km?

2. Uma granja produz anualmente 18 toneladas de carne de frango. Mantendo o ritmo de produção essa granja produzirá quantas toneladas de frango em um bimestre?

3. Para encher um tanque de 100 litros, leva-se 4 minutos. Para abastecer ଷ
ସ desse tanque em litros, qual será o tempo necessário?

4. Em 15 minutos, um cozinheiro consegue descascar 2kg de batatas. Mantendo o ritmo, em uma hora conseguirá descascar quantos quilogramas?

5. Uma criança bebe três copos de água a cada duas horas. Se ela passar acordada 16 horas por dia, quantos copos d’água ela beberá neste período?

6. Assinale a alternativa que apresenta grandezas diretamente proporcionais.
A) A velocidade de um automóvel e a distância percorrida por ele são grandezas inversamente proporcionais.
B) A quantidade de mercadorias produzidas em uma fábrica e o número de funcionários, trabalhando em condições ideais nela, são grandezas diretamente proporcionais.
C) A área da base de um prisma e seu volume são grandezas inversamente proporcionais.
D) A distância percorrida por um táxi e o valor final da corrida são grandezas inversamente proporcionais.

7. Sabendo que um automóvel gasta 6 horas em um percurso mantendo a velocidade de 30km/h, qual seria a velocidade desse automóvel se gastasse 2 horas nesse mesmo percurso?
A) 90 km/h B) 60 km/h C) 30 km/h D) 20 km/h

8. De acordo com a física, um espaço percorrido é diretamente proporcional ao tempo gasto para percorrê-lo, mantendo-se constante a velocidade. O professor Alan deslocou-se em seu automóvel durante 4 horas, a uma velocidade média de 90 km/h. A sentença que representa corretamente a relação de proporcionalidade direta entre o espaço percorrido e o tempo é

9. Um motorista de caminhão estuda a velocidade média e o tempo gasto para chegar à determinada cidade, como mostrado na tabela a seguir.

Determine o valor de x, admitindo a proporcionalidade entre as grandezas.

10. Das situações a seguir, marque aquela que descreve duas grandezas inversamente proporcionais:
A) Quantidade de pessoas em um churrasco e a quantidade de carne necessária.
B) Número de habitantes em uma cidade e a taxa de mortalidade.
C) Velocidade de um automóvel e a distância percorrida em um mesmo intervalo de tempo.
D) Vazão de um ralo e o tempo necessário para esvaziar um reservatório.

11. Das situações a seguir, assinale aquela que NÃO apresenta proporcionalidade:
A) Densidade demográfica: razão entre o número total de habitantes pela área.
B) Velocidade média: razão entre o espaço percorrido e o tempo.
C) Escala: razão entre a medida da representação do desenho de um objeto e a medida real desse objeto.
D) Tamanho do pé: razão entre a idade de uma pessoa e o tamanho do calçado.

12. Maria foi a uma casa de armarinho comprar o seguinte tecido para confeccionar pijamas para revenda.

A vendedora a informou que cada metro do tecido custava R$ 19,69 e que cada metro tinha 40 unicórnios e 120 corações.
Sabendo que Maria comprou 11,2 metros deste tecido responda:
a) Quantos unicórnios estão presentes no tecido comprado por Maria?
b) Quantos corações estão presentes no tecido comprado por Maria?
c) Qual foi o valor total, em reais, pago por Maria?
d) Se ela gasta 0,8 metros para confeccionar 1 pijama, quantos pijamas Maria conseguirá confeccionar?
e) Quantos corações e quantos unicórnios terá em cada pijama confeccionado?

13. Uma bola foi jogada para cima como mostra a imagem a seguir, e foram computados os seguintes dados para as altitudes obtidas:

14. Segundo o gráfico a seguir, x e y são grandezas diretamente ou inversamente proporcionais?

15. Segundo o gráfico a seguir, x e y são grandezas diretamente ou inversamente proporcionais?

16. As grandezas x e y são diretamente proporcionais e estão representadas no gráfico a seguir

17. As grandezas y e x são inversamente proporcionais e estão representadas no gráfico a seguir