Circunferência e Círculo

Inicialmente, vamos relembrar a diferença entre circunferência e círculo. A circunferência é uma região no plano formada por todos os pontos que têm a mesma distância de um ponto fixo chamado centro, essa distância do centro à qualquer ponto da circunferência é chamada de raio. Já o círculo é formado pela circunferência e por todos os pontos internos dela. Em outras palavras, a circunferência é a linha que delimita a região (superfície) do círculo.
Portanto quando nos referimos a medidas relacionadas à circunferência que é uma “linha unidimensional” tratamos de comprimento ou perímetro e quando nos referimos a medidas relacionadas ao círculo que é uma região ou superfície, trataremos de comprimento e de área.

Comprimento ou Perímetro de uma circunferência

O comprimento da circunferência é a medida do comprimento dessa “linha” que delimita o círculo, sendo por isso, também chamado de perímetro da circunferência.

Na figura acima, o ponto O é centro, P é um ponto da circunferência e r é o raio, ou seja, a distância de O à P. A circunferência está representada pela cor azul, desprezando-se a espessura e o círculo está representado pelas cores azul e vermelha.
Na figura abaixo, temos uma corda da circunferência que passa pelo centro, essa corda é chamada de diâmetro e sua medida é o dobro da medida do raio.

O comprimento ou perímetro da circunferência pode ser calculado através da seguinte fórmula:

Onde:
𝐶: comprimento da circunferência
𝜋 ≅ 3,14
𝑟: raio da circunferência
Exemplo: Qual é a medida do comprimento de uma circunferência cujo raio mede 10 cm?
𝐶 = ?
𝜋 ≅ 3,14
𝑟 = 10 𝑐𝑚
𝐶 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟
𝐶 = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 10
𝐶 = 62,8 𝑐𝑚

Exemplo: Um atleta deseja treinar para uma maratona e deseja correr diariamente 12km. Próximo à sua casa possui uma pista de atletismo que tem formato circular e seu diâmetro é igual a 90m. Determine o número mínimo de voltas completas que ele deve dar nessa pista a cada dia.
Primeiro calculamos a medida dessa pista que tem o formato de uma circunferência. Como o diâmetro é o dobro do raio, então o raio dessa pista é igual a 45m.
𝐶 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟
𝐶 = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 45𝑚
𝐶 = 282,6𝑚
Agora, para determinar vamos o número mínimo de voltas completas que ele deve dar nessa pista a cada dia, vamos dividir a distância que ele deseja percorrer diariamente pelo tamanho da pista:
12𝑘𝑚 = 12 000𝑚 ÷ 282,6𝑚 = 42,46.
Portanto, o atleta precisa dar no mínimo 43 voltas

Ângulos e Arcos na circunferência

Arcos da circunferência

Um arco é um subconjunto de pontos da circunferência que estão entre dois pontos quaisquer pertencentes à ela.
Os pontos destacados em verde na figura a seguir, formam o menor arco determinado pelos pontos 𝐴 e 𝐵 ou simplesmente arco 𝐴𝐵̂ . Os pontos destacados em amarelo, formam o maior arco determinado pelos pontos A e B ou arco 𝐵𝐴̂

Ângulo central

Chamamos de ângulo central todo ângulo cujo vértice coincide com o centro dessa circunferência. O ângulo 𝑃𝑂̂ 𝑄 na figura a seguir é um ângulo central, pois seu vértice está no centro O da circunferência. Observe que os extremos desse ângulo determinam um arco 𝑃𝑄̂ nessa circunferência.

A unidade de medida do arco é a mesma unidade de medida dos ângulos, ou seja, graus.
Propriedade:

Pela propriedade acima, temos na figura a seguir que 𝑚𝑒𝑑(𝐴𝐵)̂ = 𝑚𝑒𝑑(𝐴𝑂̂ 𝐵) = 60°.

Relação entre o ângulo inscrito e o ângulo central:

ATIVIDADES

1. O parque central de um município, possui o formato circular e seu perímetro mede 9 420 m de comprimento.
Determine a medida do raio desse parque. (Use π = 3,14.).

2. Observe, na figura a seguir, uma praça em formato circular

Uma pessoa que dá 12 voltas ao redor dessa praça percorre quantos quilômetros?

3. Considere a imagem a seguir que representa a roda de um ônibus. Qual a distância percorrida pelo ônibus quando essa roda der 110 voltas?

4. A superfície de uma mesa é formada por um retângulo e dois semicírculos, um em cada lateral, conforme a ilustração a seguir

Para realizar a decoração de Natal, deseja-se colocar uma fita de LED contornando essa mesa. O metro dessa fita de LED custa R$ 3,50 e só é vendido o metro inteiro. Quanto será gasto na compra dessa fita para cobrir todo o contorno dessa mesa?

5. A figura a seguir, representa a área de meta (área do goleiro) de uma quadra de futebol de salão. Para demarcar essa área é utilizada uma faixa marrom contornando-a toda

Quantos metros dessa faixa marrom, são necessários para demarcar as duas áreas de meta dessa quadra?

6. Deseja-se pregar uma fita decorativa ao redor da tampa de um pote redondo. Se o diâmetro da tampa mede 14 cm, qual o comprimento mínimo que a fita deve ter para dar a volta completa na tampa?

7. Na circunferência a seguir, a medida do arco AC igual a 110º.

8. Observe o triângulo inscrito na circunferência a seguir

9. Considere a figura a seguir

10. Observe a circunferência a seguir de centro C, em que a medida do arco 𝐴𝐵̂ é igual a 2𝑥 + 18°.

11. Considere a circunferência de centro C, na figura a seguir.