GRANDEZAS DIRETAMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Uma grandeza é tudo aquilo que pode ser medido ou mensurado, e uma razão, é uma comparação entre duas igualdades.

Como já estudamos, existem situações em que duas ou mais grandezas podem estar relacionadas, sendo essa relação de proporcionalidade direta, inversa ou sem relação proporcional. 

De um modo geral, os problemas que envolvem regra de três simples podem ser separados em dois casos, as grandezas são Diretamente proporcionais ou Inversamente proporcionais. Quando existe proporcionalidade entre as grandezas, devemos:

Portanto, se pegarmos a proporção acima e aplicarmos essa propriedade iremos obter o seguinte resultado:

• Produto dos termos dos meios:
• Produto dos termos dos extremos:

A Propriedades da soma dos termos em uma proporção diz que qualquer que seja a proporção, a soma ou a diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro, ou para o segundo termo, assim como a soma ou a diferença dos dois últimos termos está para o terceiro, ou para o quarto termo. Então temos, por exemplo:

Em casos em que as grandezas são diretamente proporcionais, aplicamos a propriedade, ou seja, a multiplicação cruzada:

Observe abaixo o gráfico que apresenta dados sobre a produção de uma fábrica de brinquedos e a quantidade de funcionários desta. Agora tente responder a seguinte questão:  “Existe alguma relação entre a quantidade de funcionários e a produção de brinquedos desta fábrica?”

Para conseguirmos visualizar melhor essa situação podemos separar os dados em uma tabela:

Podemos perceber que o número de brinquedos produzidos aumenta proporcionalmente de acordo com a quantidade de funcionários, ou seja, um funcionário gera uma produção de 30 brinquedos, dois funcionários geram uma produção de 60 brinquedos, e assim sucessivamente. Observe as razões apresentadas:

Logo, podemos afirmar que as grandezas (Quant. de funcionários e nº de brinquedos produzidos), são diretamente proporcionais, pois quando uma aumenta, a outra aumenta na mesma proporção.

Obs: O gráfico que representa a relação entre duas grandezas diretamente proporcionais é sempre uma reta que passa pela origem.

Agora observe o gráfico que mostra o tempo gasto na produção de um lote desses brinquedos:

Tomando a quantidade de brinquedos produzidas como constante, temos a seguinte tabela:

Podemos perceber que quantidade de funcionários aumenta na mesma proporção que o tempo diminui, ou seja, um funcionário demora mais tempo para produzir um determinado número de brinquedos que dois funcionários demorariam para produzir essa mesma quantidade de brinquedos, e assim sucessivamente.

Logo, podemos afirmar que as grandezas (Quant. de funcionários e tempo), são inversamente proporcionais, pois quando uma aumenta, a outra diminui na mesma proporção.

Obs: Se duas grandezas x e y são inversamente proporcionais, seus valores em um gráfico formam a figura matemática chamada hipérbole. Perceba que conforme x aumenta, y diminui e que se x diminuir (chegar próximo de 0), o valor de y aumenta.

Agora vamos pensar na seguinte situação:

Observe as razões apresentadas:

Analisando as grandezas presentes na situação, temos que:

Como as grandezas aumentam proporcionalmente, ou seja, quanto maior o tempo, maior a quantidade de voltas dada pela turbina, podemos utilizar a “Regra de Três” como ferramenta de resolução.

Logo, no decorrer de 28 minutos, a turbina eólica dará 4.480 voltas.

Podemos ainda construir o gráfico representando essa situação:

Observa a outra situação:

Analisando as grandezas presentes na situação ao lado, temos:

Para descobrirmos quanto tempo será gasto andando a 75 km/h, utilizaremos a regra de três simples. Como a velocidade e o tempo são grandezas inversamente proporcionais, temos:

Dessa forma, é necessário inverter a fração (trocar numerador e denominador) de uma das frações, para posteriormente, multiplicar-se cruzado.

Desta forma, o automóvel gastaria 4 horas para fazer esse percurso a uma velocidade constante de 75 km/h.

Podemos ainda construir o gráfico representando essa situação:

Observe os exemplos:

Para mais exemplos, acesse o link ou o código Qr abaixo: 

ATIVIDADES

1. Quando viajamos em algum meio de transporte (ônibus, motocicleta, bicicleta, avião entre outros), podemos levar em consideração o tempo que dura a viagem e a velocidade do meio de transporte.

Nessa situação, o tempo e velocidade

A) são grandezas diretamente proporcionais.

B) são grandezas inversamente proporcionais.

C) são grandezas não proporcionais.

D) não são grandezas.

2. Considere as duas grandezas envolvidas nas situações a seguir e classifique-as em diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais.

a) Número de páginas lidas de um livro e o tempo de conclusão da leitura desse livro.

b) Distância percorrida por um automóvel e a quantidade de combustível gasto.

c) Quantidade de pessoas em uma festa e a quantidade de bebida consumida.

d) Quantidade de funcionários e o tempo gasto para terminar uma obra.

3. Classifique as grandezas relacionadas a seguir em diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais.

a) A densidade demográfica de um município e a quantidade de habitantes dele;

b) A quantidade de tijolos que compõem uma parede e a área dessa parede;

c) O número de impressoras e o tempo gasto na impressão de um determinado número de cartazes;

d) Número de torneiras de mesma vazão e tempo para encher uma piscina.

4. Nas situações a seguir, marque aquela que descreve duas grandezas inversamente proporcionais.

A) Quantidade de pessoas em uma fila e o tempo de espera na fila.

B) Número de acertos em uma prova e a nota.

C) Número de camisetas compradas e valor pago na compra.

D) Vazão de uma torneira e o tempo necessário para encher um reservatório.

5. Segundo o gráfico a seguir, x e y são grandezas diretamente ou inversamente proporcionais?

6. O gráfico a seguir, mostra o volume de água contido em um reservatório ao longo do tempo.

De acordo com esse gráfico o volume (V) e o tempo (t) são grandezas diretamente ou inversamente proporcionais?

7. As grandezas x e y são diretamente proporcionais e estão representadas no gráfico a seguir.

Determine qual é o valor de y quando .

8. As grandezas y e x são inversamente proporcionais e estão representadas no gráfico a seguir:

Determine o valor de y quando

9. Evandro tem uma piscina em sua casa que mede 6 m de comprimento e comporta 30 000 litros de água. Seu irmão Miguel, resolveu também construir uma piscina com a mesma largura e profundidade da piscina de Evandro, mas com 8 m de comprimento. Quantos litros de água cabem na piscina de Miguel?

A) 10 000 L

B) 20 000 L

C) 30 000 L

D) 40 000 L

10. Em uma lanchonete, seu Gerson prepara suco de morango todos os dias. Em 10 minutos e utilizando 4 liquidificadores, a lanchonete consegue preparar os sucos que os clientes pedem. Para diminuir o tempo de preparo, seu Gerson dobrou o número de liquidificadores. Quanto tempo levou para que os sucos ficassem prontos com os 8 liquidificadores funcionando?

A) 2 min

B) 3 min

C) 4 min

D) 5 min

11. Qual é a velocidade de um automóvel que gasta quatro horas em um percurso, sabendo que gastaria 5 horas nesse mesmo percurso se estivesse a 80 km/h?

A) 120 km/h

B) 110 km/h

C) 100 km/h

D) 90 km/h

12. Um motorista de ônibus escolar estuda a velocidade média e o tempo gasto para chegar a determinada escola, como mostrado na tabela a seguir.

Determine o valor de x, admitindo a proporcionalidade entre as grandezas.

13. O carro do senhor João faz 45 km com 5 litros de etanol. Com base nesse consumo, para realizar uma viagem de 250 km, ele deve abastecer o tanque de seu carro com quantos litros de etanol?