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Expressões algébricas;Resolução de equações polinomiais do 2° grau; Produtos notáveis; Fatoração – 9º Ano – 6ª quinzena – 3º ciclo – AULA e IMPRESSÃO - 24/11/2020

Vamos iniciar nossa atividade!!!

Estudo dos Produtos Notáveis.

Considere dois quadrados, um com lado de medida “a” e outro com lado de medida “b”. Ao calcularmos suas áreas teríamos:

Quadrado de lado “a” => Área1= a2         Quadrado de lado “b” => Área2= b2

Note que se somarmos as áreas 1 e 2, teremos uma área total de a2 + b2.

Por outro lado, vamos agora supor que tenhamos um quadrado com lado a + b. Será que sua área será igual a soma das áreas 1 e 2?

A área de lado “a + b” será a Área 3, seu valor é calculado fazendo o produto de seus lados;

                                Área 3 = (a + b)(a + b)    <=  aplicando a propriedade distributiva teremos

                               Área 3 = a2 + ab + ab + b2

                               Área 3 = a2 + 2ab + b2 .

Notamos então que existe um valor a mais que a soma das áreas 1 e 2. Esse valor corresponde a áreas de dois retângulos de lados “a” e “b”.

Observe a figura a seguir.

A área dos retângulos de lados a e b é dada por => Aretângulo = a∙b

 

Concluímos então que o produto de “a + b” por ele mesmo, ou seja, (a + b)(a + b) = (a + b)2 é maior que a2 + b2, porque aparece um termo “2ab” correspondente a área de dois retângulos de lados a e b.

 

Algebricamente, o termo “(a + b)2” é um produto notável, por ser muito importante no desenvolvimento de expressões algébricas, recebe o nome de quadrado da soma de dois termos e seu desenvolvimento é dado por:  

(a + b)2 = (a + b)(a + b)

(a + b)2 = a2 + ab + ab + b2

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

 

Existem muitos produtos notáveis. E suas expressões mais utilizadas estão elencadas a seguir.

 

PRODUTOS NOTÁVEIS

01) Quadrado da soma de 2 termos: (x + y)2 = x2 + 2xy + y2.

 

02) Quadrado da diferença de 2 termos:  (x – y)2 = x2 – 2xy + y2.

Exemplo: Desenvolva: (a – 5)2

(a – 5)2 = a2 – 2∙a∙5 + 52 = a2 – 10a + 25

 

03) Produto da soma pela diferença:   (x + y) · ( x – y ) = x2 – y2.

Exemplo: Desenvolva: (5 + a) · ( 5 – a ).

(5 + a) · (5 – a) = 52 – a2 = 25 – a2

 

04) Cubo da soma de dois termos: (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3.

Exemplo: Desenvolva: (a + 5)3.

(a + 5)3 = (a + 5)∙(a + 5)∙(a + 5) = (a + 5)2 ∙(a + 5)

                                                 = (a2 + 2∙a∙5 + 52) ∙(a + 5) 

                                                 = (a2 + 10a + 25) ∙(a + 5)

                                                 = a3 + 5a2 + 10a2 + 50a + 25a – 125

                                                 = a3 + 15a2 + 750a + 125

Aplicando a fórmula direta teremos:

(a + 5)3 = a3 + 3∙a2∙5 + 3∙a∙52 + 53

(a + 5)3 = a3 + 15a2 + 750a + 125

Note que os resultados são iguais, porém pela fórmula chega-se mais rapidamente a ele.

 

05) Cubo da diferença de dois termos: (x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3.

Exemplo: Desenvolva: (m – 2)3.

(m – 2 )3 = (m – 2)∙(m – 2)∙(m – 2) = (m – 2)2 ∙( m – 2)

                                                 = (m 2 – 2∙ m ∙2 + 22) ∙( m – 2) 

                                                 = (m 2 – 4 m + 4) ∙( m – 2)

                                                 = m 3 – 2 m 2 – 4m 2 + 8m + 4m – 8

                                                 = m 3 – 6 m 2 + 12m – 8

Aplicando a fórmula direta teremos:

(m – 2)3 = m3 – 3∙m2∙2 + 3∙m∙22 – 23

(m – 2)3 = = m 3 – 6 m 2 + 12m – 8

Note que os resultados são iguais, porém pela fórmula chega-se mais rapidamente a ele.

 

FATORAÇÃO

Definição: Fatorar uma expressão significa escrevê-la como o produto de dois ou mais termos.

01) Fator comum:      

Exemplo: Fatore a expressão: 2x2 + 4x

2x2 + 4x = 2x (x + 2)

 

02) Agrupamento:                

ax + by + ay + bx = a (x + y) + b (x + y) = (a + b) × (x + y)

Exemplo: Fatore a expressão: 2np + 3rq + 2nq+ 3rp

2p + 3q + 2q+ 3p = 2n (p + q) + 3r (p + q) = (p + q) (2n + 3r)

 

03) Quadrado perfeito:

Verificação: Para sabermos se o binômio (x ± y) gerou o trinômio do quadrado perfeito temos que verificar se o dobro do produto dos termos encontrados é igual ao valor do termos central do trinômio. Se for igual, então o trinômio veio do quadrado perfeito.

 

Exemplo: Fatore a expressão: x2 + 10x + 25

Tirando as raízes quadrados do primeiro e do último termo, temos: 

 

√x2 = x     e     √25 = 5, e ainda que o sinal do termo central é positivo. Neste caso teremos

x2 + 10x + 25 = (x + 5)2

 

Verificando: Fazendo o dobro do produto dos termos encontrados: 2∙x∙5 = 10x, que é o termo central. Portanto o trinômio x2 + 10x + 25 veio do quadrado perfeito (x + 5)2

 

04) Produto da soma pela diferença:                  

x2 – y2 = (x + y) × (x – y)

Exemplo: Fatore a expressão: a2 – 4 

a2 – 4  = a2 – 22  = (a + 2)(a – 2)

 

05) Trinomio do segundo grau:    ax2 + bx + c = a(x – x’)( x – x”), em que x’ e x” são as raízes do polinômio.

Exemplo: Fatore a expressão: x2 – 7x + 10.

Inicialmente vamos determinar as raízes da equação do 2º grau x2 – 7x + 10 = 0

Calculando ∆ = b2 – 4∙a∙c = (-7)2 – 4∙1∙10 = 49 – 40 = 9

Aplicando a fórmula de Báskara:

 

Portanto a forma fatorada do trinômio do 2º grau x2 – 7x + 10 é 1(x – 2) (x – 5), ou seja:

 

x2 – 7x + 10 = 1(x – 2) (x – 5)

 

Observação: Essa é uma parte de extrema importância para o desenvolvimento de raciocinio algébrico, que ajudará em muito a compreensão de determinados assuntos tanto dentro da própria matemática como em outras disciplinas como física e química. Então, para aquele que pretende dominar os assunto futuros devem dar muita atenção a essa teoría e executar os exercícios com o máximo de empenho.

 

ATIVIDADES

01) Aplicando as regras dos produtos notáveis, desenvolva:

a) (x + 8)2 =

b) (2 – 3a)2 =

c) (3x + y2)2 =

d) (1 + 5m)(1 – 5m) =

e) (ab – c)=

f) (m – 1)3 =

g) (a3 – b3)(a3 + b3) =

h) (4 + h)2 =

i) (10 + a2x)(10 – a2x) =

j) (a + t)3 =

 

02) Simplificando os casos de fatoração estudados, fatore os polinômios:

a) x2 + 5x = ­­­­­­­­­­­­­

b) 4x2 – 12x + 9 =

c) x3 – 2x2 + 4x – 8 =

d) 4x2 – 9 =

e) a6 – 5a5 + 6a3=

f) ax – a + bx – b =

g) 64y2 + 80y + 25 =

h) a3b2 + a2b3 =

i) m6 – 1=

j) 4a2x2 – 4abx + b2  =

k) 12a2b + 18a =

 

03) Simplifique as seguintes frações algébricas:

 

04) Determine os seguintes produtos:

 

05) Determine os seguintes quocientes:

(A) (   ) – 0,25                      

(B) (   ) – 0,125        

(C) (   ) 0,125                      

(D) (   ) 0,25

 

07) Aplicando a regra dos produtos notáveis, desenvolva:

 

08) Resolva a equação 2x2 – 2x – 24 = 0, aplicando a fatoração.  

(A) (    )  9

(B) (    ) 10

(C) (    ) 12

(D) (    ) 15

 

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