TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS DE POLÍGONOS NO PLANO CARTESIANO

Plano cartesiano

É um traçado de duas retas perpendiculares que se cruzam formando quatro ângulos retos. Sendo uma na horizontal e outra na vertical, dividindo o plano em quatro partes, que são chamadas de quadrantes. Estas retas recebem o nome de eixos, sendo o eixo horizontal chamado de eixo das abscissas e o vertical de eixo das ordenadas.

As localizações dos pontos no plano cartesiano dependem da combinação de dois números reais, ou seja, de duas coordenadas (x, y). A primeira coordenada é chamada de abscissa e portanto representa um valor no eixo horizontal e a segunda coordenada é chamada de ordenada e corresponde a um valor do eixo vertical.

Observe a localização dos pontos A (-4, 5), B(2, -4) e C (3, 3) no plano cartesiano:

Através das coordenadas dos vértices de um determinado polígono, podemos representá-los no plano cartesiano. Vamos representar as seguintes figuras no plano cartesiano:

Triângulo com vértices: A(-2,3); B(3,2); C(-2,-2); Quadrado com vértices: A (2,2); B(-2,2); C(-2,-2);D (2,-2).

Podemos realizar a ampliação de um polígono desenhado no plano cartesiano multiplicando as coordenadas dos vértices por um número inteiro. Considere o quadrado representado pelos vértices A(1, 3); B(3, 3); C(3, 1) e D(1, 1). Temos duas possibilidades: multiplicar as coordenadas por um número inteiro positivo ou por um número inteiro negativo.

Como podemos observar os quadrados A’B’C’D’ e A”B”C”D” são iguais, mudando apenas suas posições no plano cartesiano.  Podemos dizer que os dois quadrados são simétricos, e este será o próximo tópico que estudaremos, simetria em relação aos eixos das abscissas e das ordenadas.

Primeiro vamos observar o retângulo representado na figura a seguir:

• Os pontos A e D são simétricos em relação ao eixo y porque apresentam a mesma distância em relação ao eixo y, o mesmo acontece com os pontos B e C.
• Os pontos A e B são simétricos ao eixo x, porque apresentam a mesma distância em relação ao eixo x, o mesmo acontece com os pontos D e C.
• Os pontos D e B são simétricos em relação à origem, porque apresentam a mesma distância em relação a origem, o mesmo acontece com os pontos A e C.

Agora vamos aprender a encontrar uma figura simétrica a outra em cada um desses casos.

Considere o triangulo  representado na figura a seguir.

Agora vamos aprender a encontrar uma figura simétrica a outra em cada um desses casos.

O triângulo JKL é simétrico ao triângulo ABC em relação à origem.

Atividades

3. Considere a figura a seguir e escreva quais são os vértices simétricos em relação a cada eixo.

4. Desenhe o simétrico do triângulo a seguir em relação ao eixo x, ao eixo y e à origem.

5. O triângulo  representado na figura a seguir foi obtido a partir de uma ampliação do triângulo.

Com base nisto, assinale a alternativa que representa, as possíveis coordenadas dos vértices do triângulo original.

Considere a seguinte situação para responder as questões 6, 7, e 8.

A pedido de sua professora Lucas desenhou o barco a seguir utilizando um aplicativo de desenho geométrico.

6. Escreva as coordenadas dos pontos .

7. Desenhe, na malha quadriculada, um novo barco simétrico ao feito por Lucas em relação ao eixo horizontal.

8. Desenhe, na malha quadriculada, um novo barco simétrico ao feito por Lucas em relação ao eixo vertical.

9. Marque os pontos 𝑨(𝟐, 𝟏); 𝑩(2, 4); 𝑪(5, 1) e 𝑫(5, 4) no plano cartesiano e ligue-os formando um polígono. Em seguida, multiplique todas as coordenadas por 𝟐. Represente esse novo polígono no plano cartesiano e, em seguida compare a área e o perímetro das duas figuras.

10. Dados os pontos 𝑨(౼2, 2); 𝑩(౼4, 1); 𝑪(౼6, 3); 𝑫(౼5, 5) e 𝑬(౼3, 4), marque-os no plano cartesiano e ligue-os formando um polígono. Em seguida, multiplique todas as coordenadas por ౼1, formando 5 novos pontos e, represente o novo pentágono.