Estudo de eventos probabilísticos.

A parte da matemática que estuda o número de possibilidades de um evento ocorrer é denominada de Análise Combinatória. Em uma linguagem simplificada, a Análise Combinatória é a arte de contar. Nem sempre contar é um processo simples. Por exemplo:
No sorteio da Mega-Sena são sorteadas 6 dezenas escolhidas entre os números inteiros 1 e 60. De quantas formas distintas pode-se fazer essa escolha?
Logo de início podemos perceber que existe um número muito grande de possibilidades para montarmos um jogo em uma cartela e que é necessária certa técnica para determinarmos quantas possibilidades existem.
No entanto, tendo feito um determinado número x de jogos, um apostador passa a ter a chance de acertar os números que serão sorteados. Perceba que quanto maior for a quantidade de x, maior será a chance de acertar e receber o prêmio. O cálculo de quanto é essa “chance” é denominado de probabilidade.
Entendemos portanto que, para calcular a quantidade de possibilidades de ocorrência de um determinado acontecimento usamos os métodos de contagem da Análise Combinatória. Porém, quando queremos saber qual a chance de acontecer um resultado ou um conjunto de resultados específicos em meio a todas as possibilidades existentes, estaremos diante a Probabilidade de ocorrência desse ou desses resultados.

Probabilidade de um evento

Primeiramente temos que entender alguns conceitos preliminares.

➢ Espaço amostral ( U ): é o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento.
Por exemplo: O lançamento de um dado com seis faces.
Neste caso, o conjunto de possibilidades de resultados é U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Perceba que para um conjunto com muitas possibilidades de resultados podemos lançar mão da Análise Combinatória para contar o número de elementos desse conjunto.
➢ Evento (E) é qualquer subconjunto do espaço amostral.

Por exemplo:
a) Evento 1 => faces números pares: {2, 4, 6};
b) Evento 2 => faces números múltiplos: {3, 6};
c) Evento 3 => faces números divisores de 60: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
d) Evento 4 => faces números múltiplos de 7: { }

Cálculo da Probabilidade

Seja um espaço amostral U e E um de seus eventos, denomina-se probabilidade do evento E o número P(E) obtido fazendo-se o quociente entre o número de elementos do evento E e o número de elementos do espaço amostra (U).

No exemplo anterior:

Podemos perceber que se o evento tem todos os elementos do espaço amostral sua probabilidade é 1 ou 100% e é chamado de evento certo. Se o evento é uma subconjunto vazio do espaço amostral sua probabilidade é zero “0” e é chamado de evento impossível, assim:

Adição de Probabilidades (UNIÃO)

Se A e B são dois eventos de mesmo espaço amostral.

Podemos escrever que o número de elementos de AUB é dado pela expressão:

A∪B = A + B – A∩𝐵

dividindo por U, temos:

por definição:

Observação:
✓ Se A ∩ B = ∅ ⇒ P(AUB) = P(A) + P(B), os eventos A e B são dijuntos.

Exemplo 02. Em uma pesquisa realizada sobre a preferência entre determinadas redes sociais, foram consultadas 470 alunos de uma escola estadual e o resultado foi que 250 preferem a rede “F”, 170 preferem a rede “I” e 50 gostam das duas. Escolhendo ao acaso um dos entrevistados, qual a probabilidade deste ter:

a) preferência pelas redes F e I, simultaneamente?
b) preferência pelas revistas F ou I?

Probabilidade de Eventos Complementares

Sejam A e A̅ dois eventos complementares, então:
A ∪ 𝐀̅ = U, ou seja, quando unidos o resultado é o universo;
A ∩ 𝐀̅ = Ø, não possuem elementos em comum.

Observação: “O somatório de todas as probabilidades de um experimento é sempre igual a 1 ou 100%”.
Exemplo 03. Em uma sala de aula existem 17 alunos dos quais 7 são homens. Seu uma pessoa desta sala for
sorteada para uma determinada apresentação de um trabalho, qual a probabilidade dela:
a) ser uma mulher;
b) não ser uma mulher.
Solução:

6. Multiplicação de Probabilidades
   Se um acontecimento  é composto por vários eventos SUCESSIVOS e INDEPENDENTES, de tal modo
   que:
   o 1º evento é A e sua probabilidade e P(A);
   o 2º evento é B e sua probabilidade é P(B);
   o 3º evento é C e sua probabilidade é P(C);
   . . . . .
   o K-ésimo evento é K e sua probabilidade é P(K),
   então, a probabilidade de que os eventos A, B, C, … , K do acontecimento  ocorram NESSA ORDEM é:

Exemplo 04. Em um baralho de 52 cartas, quatro cartas são retiradas aleatoriamente, sucessivamente e sem
reposição. Deixando os cálculos indicados, determine a probabilidade de as cartas retiradas serem:
a) 4 damas;
b) um ás, um valete, uma dama e um rei, nessa ordem;
c) três cartas de paus e uma de ouros, nesta ordem.♣♠
Resolução:

𝑎) 4 damas

a) ( ) 3/10.
b) ( ) 1/6.
c) ( ) 3/5.
d) ( ) 1/5.