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Variação de grandezas: diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais – 8º Ano – 6ª quinzena – 3º ciclo – AULA e IMPRESSÃO - 24/11/2020

Vamos iniciar nossa atividade!!!

ESTUDO DAS GRANDEZAS

Uma Grandeza em matemática é tudo aquilo que pode ser medido e contado. Por exemplo, o tempo, a velocidade, o volume, a quantidade de homens em uma obra etc. O que não pode ser medido e nem contado não é uma grandeza. Exemplo: O amor, a saudade, a imaginação etc.

 

Portanto, nosso estudo trata-se das grandezas mensuráveis (que podem ser medidas ou contadas) e da forma com a qual se relacionam.

 

Dizemos que duas grandezas “x” e “y” são diretamente proporcionais (G.D.P.) quando existe uma relação do tipo y = k∙x, com x positivo e “k” constante positiva, chamada de constante ou coeficiente de proporcionalidade.

 

Um exemplo que ilustra essa situação e a relação do espaço “S” e o tempo “T” em um movimento retilíneo e uniforme.

 

Um corpo em movimento retilíneo e uniforme tem velocidade constante e igual a 20 km/h. Veja a tabela a seguir.

Note que à medida que o tempo aumenta o espaço aumenta na mesma proporção, ou seja, se o tempo dobra o espaço também dobra, se o tempo triplica o espaço também triplica etc. A relação matemática entre o espaço e o tempo é dada por:

Na primeira expressão matemática, o quociente entre o espaço (S) e o tempo (T) é um valor constante igual a 20, o que nos revela uma importante relação entre Grandezas Diretamente Proporcionais (G.D.P).

 
  Text Box: Se duas grandezas são diretamente proporcionais então o quociente (divisão) entre elas é sempre um valor constante e positivo.

Na segunda expressão matemática, a relação entre o espaço (S) e o tempo (T) é do tipo y = k∙x, ou seja:

Podemos também observar que o gráfico entre duas grandezas diretamente proporcionais é uma reta que parte da origem. Considerando a tabela acima, temos o gráfico a seguir.  

Sempre que o gráfico entre duas determinadas grandezas for uma reta crescente que parte da origem (com o exemplo acima), as grandezas são diretamente proporcionais.

 

Duas grandezas “x” e “y” são inversamente proporcionais (G.I.P.) quando existe uma relação do tipo y = k/x ou y∙x = k, com x > 0 e “k” constante positiva, ou seja, y é diretamente proporcional ao inverso de x.

 

Um exemplo que nos mostra esta situação e a relação da velocidade “V” e o tempo “T” em um movimento retilíneo e uniforme.

 

Um corpo em movimento retilíneo e uniforme percorre um espaço de 30 km.  Isso significa que, de acordo com a tabela a seguir, temos:

Neste caso, à medida que o tempo aumenta, a velocidade diminui na mesma proporção, ou seja, se o tempo dobra, a velocidade diminui pela metade, se o tempo triplica, a velocidade diminui para um terço, ou ainda, se a velocidade dobra o tempo diminui pela metade etc. A relação matemática entre a velocidade e o tempo é dada por:

 Na segunda expressão matemática, o produto entre a velocidade (V) e o tempo (T) é  constante “ k = 30”, um valor constante e positivo. Isso nos revela uma importante relação entre Grandezas Inversamente Proporcionais (G.I.P):

Podemos também observar que o gráfico entre duas grandezas inversamente proporcionais é uma curva denominada hipérbole.

Podemos observar também que, sempre que o gráfico entre duas grandezas formar uma hipérbole estas grandezas serão inversamente proporcionais.

 

Observação: Em uma relação do tipo: A.B/C = k, sendo k > 0, entre as grandezas A, B e C temos que:

  • A e B são inversamente proporcionais, o produto entre elas é constante, com C constante;
  • A e C são diretamente proporcionais, o quociente entre ela é constante, com B constante.

Neste caso, a grandeza A é diretamente proporcional à C e inversamente proporcional B.

 

ATIVIDADES

01) Determine, em cada caso, se a relação entre as grandezas é de proporção direta (D) ou inversa (I).

  1. (    ) A força do Superman e a quantidade de caminhões que poderá levantar.
  2. (    ) O número de máquinas trabalhando para o Homem de Ferro e o tempo que levam para construir um foguete.
  3. (    ) A velocidade do Flash e o tempo que ele leva para fazer uma viagem de Brasília a São Paulo.
  4. (    ) A velocidade de um ônibus e a distância percorrida por ele em três horas.
  5. (   ) A quantidade de ração e o número de animais que podem ser alimentados com ela durante uma semana.
  6. (    ) O volume da piscina do Hulk e o tempo necessário para enchê-la.
  7. (    ) O número de linhas por página e o total de páginas de um livro do Dr. Estranho.  
  8. (    ) A eficiência de um grupo de operários e o tempo necessário para executarem certo serviço.
  9. (    ) A dificuldade de uma tarefa  de Hércules e o tempo necessário para o herói executá-la.
  10. (    ) A facilidade de uma tarefa de Hércules e o tempo necessário para o herói executá-la.
  11. (    ) A força da teia do Homem Aranha e a quantidade de carga que ela pode suportar.
  12. (    ) O número de horas trabalhadas por dia e o número de dias necessário para fazer certo trabalho.

 

02. Julgue os itens abaixo em VERDADEIROS ou FALSOS.

I (   ) Dadas duas grandezas diretamente proporcionais, quando uma delas aumenta a outra também aumenta na mesma proporção.

II (   ) Dadas duas grandezas diretamente proporcionais, quando uma delas diminui a outra aumenta na mesma proporção.

III (   ) Dadas duas grandezas inversamente proporcionais, quando uma delas aumenta a outra diminui na mesma proporção.

IV (   ) Dadas duas grandezas inversamente proporcionais, quando uma delas diminui a outra também diminui na mesma proporção.

 

03)  Julgue os itens abaixo em CERTOS ou ERRADOS.

I (                     ) Se duas grandezas X e Y são tais que ao duplicarmos o valor de X, o valor de Y também duplica, então X e Y são grandezas diretamente proporcionais.

II (                  ) Se duas grandezas X e Y são tais que ao reduzirmos para um terço o valor de X, o valor de Y também reduz para um terço, então X e Y são grandezas inversamente proporcionais

III (                  ) Se duas grandezas X e Y são tais que ao triplicarmos o valor de X, o valor de Y fica reduzido para um terço do que era, então X e Y são grandezas inversamente proporcionais.

IV (              ) Se X é uma grandeza inversamente proporcional à grandeza Y, então Y é diretamente proporcional a X.

V (                    ) Se duas grandezas X e Y são tais que ao aumentarmo  s o valor de X em n unidades, o valor de Y também aumenta em n unidades, então X e Y são grandezas diretamente proporcionais. Logo, para que duas grandezas sejam diretamente proporcionais elas sempre aumentam na mesma quantidade.

 

04) Aplicando o conhecimento de grandezas direta ou inversamente proporcionais, julgue os itens abaixo:

a densidade (D) é diretamente proporcional á massa do corpo, para um volume do corpo constante.

a densidade (D) é inversamente proporcional ao volume do corpo, para um valor constante da massa do corpo.

c) (    ) Se duas grandezas são diretamente proporcionais, então o quociente entre elas é constante.

se a massa do corpo dobra e a aceleração também dobra então a força exercida pelo conjunto também dobra.

 

05) Na batcaverna e utilizando seu batcompudador, Batman tenta desvendar o código de desarmamento de uma bomba que foi encontrada em Gotam, colocada por um de seus velhos inimigos: o Charada! Ele verifica que determinados símbolos como Ω, Å e ∆, funcionam como operadores da seguinte expressão matemática:

Ao analisar cuidadosamente a fórmula, batman percebeu que:

a (   ) Ao dobrar o valor de Å, os valores de Ω e ∆ também vão dobrar, por serem todos diretamente proporcionais.

b (   ) Se ∆ for um valor constante então Ω e Å se relacionam como grandezas inversamente proporcionais.

c (   ) Se Å for um valor constante então Ω e ∆ se relacionam como grandezas inversamente proporcionais.

d (   ) Se Ω for um valor constante então ∆ e Å se relacionam como grandezas inversamente proporcionais.

 

06) Perseu perguntou a Héscules,  qual seria a fórmula para conseguir ter sua força. Hércules então respondeu:

–  “Minha força é diretamente proporcional ao quadrado da força do Leão da Nemeia e também diretamente proporcional à rapidez da Hidra de Lerna e ainda seria inversamente proporcional ao medo das amazonas”.

 

Sendo ‘L’ a força do Leão da Nemeia, e ‘R’ a rapidez da Hidra de Lerna e ainda ‘M’ medo das amazonas, então, sendo k é uma constante de proporcionalidade.

 

07) Um professor de ciências pediu a seus alunos para analisar os gráficos a seguir.

Analisando corretamente os gráficos, os alunos perceberam que as grandezas que se relacionam de maneira inversamente proporcional são

a (   ) x e y.

b (   ) r e s.

c (   ) m e k.

d (   ) q e w.

 

08) Um professor de matemática pediu a seus alunos para analisar os gráficos a seguir.

Analisando corretamente os gráficos, os alunos perceberam que as grandezas que se relacionam de maneira diretamente proporcional são

a (   ) x e y.

b (   ) r e s.

c (   ) m e k.

d (   ) q e w.

 

09) O professor de ciências do 8º ano estava explicando que todos os materiais são condutores de eletricidade, porém alguns são bons condutores e outros são maus condutores. A resistência elétrica de um determinado fio de um material condutor é inversamente proporcional à área A de sua seção transversal, ou seja, quanto maior for a “grossura do fio” menor será sua resistência em conduzir eletricidade.

 

Nestas condições o gráfico que representa a resistência elétrica R em função da área a do fio condutor é

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